বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য

১. একটি বৃত্তে AB কর্ডটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি এবং কেন্দ্র O থেকে কর্ডের উপর OM লম্ব টানা হয়েছে, যেখানে OM = 5 সেমি। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

 উত্তর: AB = 12 সেমি
⇒ AM = AB/2 = 6 সেমি (কারণ OM কর্ডকে সমদ্বিখণ্ড করে)
OM = 5 সেমি

∴ ΔOMA-তে Pythagoras সূত্র প্রয়োগ করে,

                                                      OA2 = OM2 + AM2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61

                                                                             ⇒ OA = 61 ​≈ 7.81 cm

 অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ প্রায় 7.81 সেমি

২. একটি বৃত্তে AB ও CD দুটি কর্ড সমান দৈর্ঘ্যের। প্রমাণ করো যে তারা কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।

 উত্তর: ধরি, AB = CD (প্রদত্ত)
O কেন্দ্র থেকে OM ও ON যথাক্রমে AB ও CD-তে লম্ব টানা হলো।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে: OM = ON

∆OMA ও ∆ONC ত্রিভুজে,

• AB = CD (প্রদত্ত)
  
  
• OM ⊥ AB ও ON ⊥ CD
  
  
• OA = OC (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
  
  
• AM = AB/2, CN = CD/2 ⇒ AM = CN
  
  

∴ RHS উপপাদ্য অনুসারে,
∆OMA ≅ ∆ONC
⇒ OM = ON

 অতএব, সমদৈর্ঘ্য কর্ডসমূহ কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত।