সম্পাদ্য: মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQ)
1. গাণিতিক গড় নির্ধারণের জন্য কোনটি প্রয়োজনীয় নয়?
ক. কম্পাস
খ. চিহ্নসহ স্কেল
গ. চিহ্নবিহীন স্কেল (Straightedge)
ঘ. পেন্সিল
উত্তর: খ. চিহ্নসহ স্কেল
2. কোন উপপাদ্য অনুযায়ী, AC ব্যাস ধরে আঁকা অর্ধবৃত্তের উপর AD একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে?
ক. পিথাগোরাস উপপাদ্য
খ. লম্ব উপপাদ্য
গ. থেলসের উপপাদ্য
ঘ. মধ্যবিন্দু উপপাদ্য
উত্তর: গ. থেলসের উপপাদ্য
3. যদি AB = 3 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে গাণিতিক গড় BD এর মান কত?
ক. 15 সেমি
খ. 6 সেমি
গ. 9 সেমি
ঘ. 5 সেমি
উত্তর: খ. 6 সেমি
(কারণ BD² = AB × BC = 3 × 12 = 36 ⇒ BD = √36 = 6 সেমি)
4. গঠন প্রক্রিয়ায় বিন্দু D কী নির্দেশ করে?
ক. AB-র মধ্যবিন্দু
খ. AC-র মধ্যবিন্দু
গ. B বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব রেখার সাথে অর্ধবৃত্তের ছেদবিন্দু
ঘ. AB রেখার শেষবিন্দু
উত্তর: গ. B বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব রেখার সাথে অর্ধবৃত্তের ছেদবিন্দু
5. নিচের কোন গুণটির সাহায্যে প্রমাণ করা যায় যে BD² = AB × BC?
ক. ত্রিভুজের সমানতা
খ. ত্রিভুজের সাদৃশ্য
গ. সমান বাহু
ঘ. সমান কোণ
উত্তর: খ. ত্রিভুজের সাদৃশ্য
সংক্ষিপ্ত উত্তর প্রশ্ন (SAQ)
1. AB এবং BC এই দুই রেখা-খণ্ডের মধ্যে গাণিতিক গড় বলতে কী বোঝায়?
উত্তর: BD এমন একটি রেখা-খণ্ড যার দৈর্ঘ্য এমন হয় যেন BD² = AB × BC, অর্থাৎ BD = √(AB × BC)
2. গঠন প্রক্রিয়ায় কোন ধাপে ত্রিভুজ ADC কে সমকোণী নিশ্চিত করা হয়?
উত্তর: AC ব্যাস ধরে অর্ধবৃত্ত অঙ্কনের মাধ্যমে, থেলসের উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজ ADC সমকোণী হয়।
3. গাণিতিক গড় নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত দুটি প্রধান যন্ত্র কী কী?
উত্তর: একটি কম্পাস এবং একটি চিহ্নবিহীন স্কেল (straightedge)।
দীর্ঘ উত্তর প্রশ্ন (LAQ)
1. AB এবং BC এই দুটি রেখা-খণ্ডের গাণিতিক গড় নির্ধারণের জন্য গঠন প্রক্রিয়া ধাপে ধাপে লেখো।
উত্তর: ধাপ ১: একটি সরল রেখা আঁকো এবং AC = AB + BC চিহ্নিত করো। B বিন্দু এমনভাবে চিহ্নিত করো যেন AB এবং BC যথাক্রমে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের হয়।
ধাপ ২: AC রেখার মধ্যবিন্দু O নির্ধারণ করে, কেন্দ্র O ও ব্যাস AC নিয়ে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করো।
ধাপ ৩: B বিন্দু থেকে AC-এর উপর একটি লম্ব রেখা আঁকো, যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করবে।
ধাপ ৪: B ও D বিন্দুকে মিলিয়ে রেখা BD আঁকো।
ফলাফল: BD হল AB এবং BC-এর গাণিতিক গড়।
2. গাণিতিকভাবে প্রমাণ করো যে নির্মিত রেখা BD হল AB ও BC-এর গাণিতিক গড়।
উত্তর:
- AC ব্যাস ধরে অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের উপর D বিন্দু থাকায়, ত্রিভুজ ADC সমকোণী (থেলসের উপপাদ্য)।
- ত্রিভুজ ABD এবং CBD একই কোণ বিশিষ্ট হওয়ায়, তারা একে অপরের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ (AA নিয়ম)।
- তাই অনুপাত দাঁড়ায়:
AB / BD = BD / BC ⇒ BD² = AB × BC - অতএব, BD = √(AB × BC), অর্থাৎ এটি AB ও BC-এর গাণিতিক গড়।