ভূমিকা

দশম শ্রেণির পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের গণিত পাঠ্যক্রমে, অধ্যায় ২১ শিক্ষার্থীদের এমন একটি জ্যামিতিক কৌশল শেখায় যার মাধ্যমে কেবলমাত্র স্কেল ও পরিমাপক কম্পাস ব্যবহার করে দুটি প্রদত্ত রেখাখণ্ডের মধ্যসমানুপাতী (Mean Proportional) নির্ণয় করা যায়। এখানে গাণিতিক হিসাব নয়, বরং জ্যামিতির নিয়ম ও নির্মাণের নীতিতে সমাধান খুঁজে বের করা হয়।

এই অধ্যায়টি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি বাস্তব প্রয়োগ হিসেবে বিবেচিত, যা সাদৃশ্য (Similarity) ও সমকোণী ত্রিভুজের গুণাবলি ব্যবহার করে গঠন সম্পাদিত হয়।

মধ্যসমানুপাতী কী?

জ্যামিতির ভাষায়, যদি দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হয় a ও b, তবে তাদের মধ্যসমানুপাতী  x এমন একটি রাশি যা নিচের সম্পর্ক পূরণ করে:

ax= xb or x2=ab

অর্থাৎ, মধ্যসমানুপাতী হল ঐ দুটি রাশির গুণফলের বর্গমূল।

x=ab

এই অধ্যায়ে এই সম্পর্ককে জ্যামিতিক নির্মাণের মাধ্যমে বাস্তবায়ন করা হয়।

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

এই নির্মাণের ভিত্তি হল সমকোণী ত্রিভুজের লম্বের গুণফল সূত্র (Altitude Theorem)।

এই সূত্র অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজে, কৌণিক শীর্ষ থেকে আঁকা লম্বটি দুইটি ছোট ত্রিভুজ তৈরি করে, যারা মূল ত্রিভুজটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ (Similar) হয়। এর ফলে সম্পর্ক দাঁড়ায়:

উচ্চতা 2 = (রেখাংশ 1)×(রেখাংশ 2)

 

এই জ্যামিতিক নীতি অনুসরণ করেই মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করা হয়।

নির্মাণ পদ্ধতি (ধাপে ধাপে)

 উদ্দেশ্য:

দুটি প্রদত্ত রেখাখণ্ড AB এবং BC এর মধ্যসমানুপাতী BD খুঁজে বের করা, যাতে:

BD2 = AB × BC

ধাপ ১: রেখা অঙ্কন করুন

• একটি সরলরেখা আঁকুন এবং তাতে A এবং C দুটি বিন্দু চিহ্নিত করুন, যাতে AC = AB + BC হয়। 
• B বিন্দুটি এমনভাবে রাখুন যাতে AB এবং BC যথাক্রমে প্রদত্ত মাপ অনুযায়ী হয়। 

ধাপ ২: অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করুন

• AC রেখাকে ব্যাস ধরে মধ্যবিন্দু O খুঁজে বের করুন। 
• কম্পাস দিয়ে কেন্দ্র O ও ব্যাসার্ধ OA=OC রেখে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করুন। 

ধাপ ৩: B বিন্দু থেকে লম্ব অঙ্কন করুন

• B বিন্দু থেকে AC রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কন করুন, যা অর্ধবৃত্তকে ছেদ করবে। ছেদবিন্দুটিকে D বলুন। 

ধাপ ৪: BD সংযোগ করুন

• B ও D বিন্দু দুটি যুক্ত করুন। 
• BD-ই হল AB ও BC এর মধ্যসমানুপাতী। 

নির্মাণের যুক্তি (Justification)

AC ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট অর্ধবৃত্তে তৈরি ADB ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী)।
তাছাড়া, ত্রিভুজ ABD এবং CBD পরস্পরের সাথে ও মূল ত্রিভুজের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

এই অনুযায়ী আমরা পাই:

ABBD = BDBC ⇒ BD2=AB×BC⇒BD= AB × BC

এভাবেই BD হল AB ও BC এর মধ্যসমানুপাতী।

উদাহরণসহ বিশ্লেষণ

ধরা যাক,

• AB=৪ 
• BC=৯ সেমি

 → তাহলে AC=১৩ সেমি

ধাপগুলো অনুসরণ করুন:
১. ১৩ সেমি দৈর্ঘ্যের রেখা আঁকুন।
২. B-কে এমনভাবে স্থাপন করুন যাতে AB = ৪ সেমি হয়।
৩. AC ব্যাসার্ধে অর্ধবৃত্ত আঁকুন।
৪. B থেকে লম্ব অঙ্কন করুন।
৫. ছেদবিন্দু D-এর সাথে B যুক্ত করুন।

তাহলে,

BD=AB × BC = 4 × 9 = 36 = 6cm

সুতরাং, নির্মিত রেখাখণ্ড BD হল প্রদত্ত দুই রেখার মধ্যসমানুপাতী।

এই অধ্যায়ের গুরুত্ব

• এই অধ্যায় শিক্ষার্থীদের জ্যামিতিক চিন্তাভাবনা, প্রয়োগযোগ্য জ্ঞান ও নির্মাণ দক্ষতা বাড়ায়। 
• সাদৃশ্য, থ্যালেস উপপাদ্য, এবং সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব সূত্র সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা প্রদান করে। 
• এই ভিত্তি পরবর্তী শ্রেণিতে বৃত্ত ও ত্রিভুজ সম্পর্কিত জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানে সহায়ক হবে। 

উপসংহার

অধ্যায় ২১: সম্পাদ্য – মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় হল দশম শ্রেণির WBBSE পাঠ্যক্রমে একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক অধ্যায়। এর মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা শুধুমাত্র স্কেল ও কম্পাস ব্যবহার করে কিভাবে গণিতীয় সমস্যা সমাধান করা যায়, তা শিখে। সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াটি যুক্তিনির্ভর ও গাণিতিক সৌন্দর্যে ভরপুর। এই জ্ঞান পরবর্তী জ্যামিতিক অধ্যায়গুলোর মজবুত ভিত্তি গড়ে তোলে।