বর্ণনা
একটি ত্রিভুজের সঙ্গে সম্পর্কিত দুটি গুরুত্বপূর্ণ বৃত্ত হলো পরিবৃত্ত (circumcircle) এবং অন্তবৃত্ত (incircle)। এই অধ্যায়ে আমরা কীভাবে একটি ত্রিভুজের চার্জবিন্দু দ্বারা আবদ্ধ পরিবৃত্ত, এবং ত্রিভুজের অভ্যন্তর থেকে স্পর্শ করে যাওয়া অন্তবৃত্ত অঙ্কন করতে হয়, তা বিস্তারিতভাবে জানব। বাস্তব উদাহরণ এবং গণিত‑নির্ভর শব্দাবলীর মাধ্যমে এটি সহজভাবে উপস্থাপন করা হলো।
1. ভূমিকা
ত্রিভুজের পরিবৃত্ত এবং অন্তবৃত্ত অঙ্কন একটি মৌলিক জ্যামিতিক দক্ষতা, যা শুধু পরীক্ষার জন্য নয় বরং বাস্তব জীবনের নকশা ও প্রকৌশলে প্রয়োগযোগ্য। পরিবৃত্ত হচ্ছে এমন একটি বৃত্ত যা ত্রিভুজের সকল কোণগুলির বাইরে দিয়ে যায়; অন্যদিকে অন্তবৃত্ত হলো ত্রিভ্তের ভেতর থেকে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে স্পর্শ করে এমন বৃত্ত।
2. পরিবৃত্ত অঙ্কন (Construction of the Circumcircle)
2.1 ধাপ 1: মধ্যবিন্দু রেখা নির্মাণ
- প্রথমে দুই বাহুর (যেমন AB এবং BC) মধ্যবিন্দু নির্ণয় করুন।
- প্রতিটি মধ্যবিন্দুতে লম্ব রেখা (perpendicular bisector) অঙ্কন করুন।
- এই দুই লম্ব রেখার ছেদ বিন্দুটি হবে পরিবৃত্তের কেন্দ্র, অর্থাৎ Circumcentre।
2.2 ধাপ 2: প্রান্ত থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত ব্যাসার্ধ নির্ণয়
- Circumcentre থেকে যেকোন একটি শীর্ষ‑বিন্দু (যেমন A) পর্যন্ত সরলেখ আঁকুন—এটিই হবে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
2.3 ধাপ 3: বৃত্ত অঙ্কন
- কম্পাস বা পরিমাপ যন্ত্র ব্যবহার করে, ব্যাসার্ধ ধরে কেন্দ্র থেকে বৃত্ত অঙ্কন করুন। এভাবে আপনি ত্রিভুজের বাহুর বাইর দিয়ে আদর্শ পরিবৃত্ত পাবেন।
উদাহরণ
ধরা যাক ত্রিভুজ ABC; AB = 6 cm, BC = 7 cm, CA = 5 cm। AB এবং BC‑র মধ্যবিন্দুতে লম্ব রেখা অঙ্কন করুন; ছেদ বিন্দুটি, O, হবে কেন্দ্র। পরিমাপ করুন OA = 6 cm হলে, কেন্দ্র থেকে 6 cm ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করুন যা A, B, C তিনটি বিন্দু স্পর্শ করবে।
3. অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction of the Incircle)
3.3 ধাপ 1: কোণ দ্বিখণ্ডক অঙ্কন
- ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ (∠A, ∠B, ∠C) থেকে একটি করে কোণ বিভাজ রেখা (angle bisector) অঙ্কন করুন।
3.2 ধাপ 2: কোণ বিভাজ রেখার ছেদ বিন্দু নির্ণয়
- দুইটি কোণ (যেমন ∠A ও ∠B)‑এর কোণ দ্বিখণ্ডক রেখা ছেদ হয় এমন বিন্দুটি হলো কেন্দ্র, অর্থাৎ অন্তবৃত্তের কেন্দ্র।
3.3 ধাপ 3: অন্তর (radius) নির্ণয়
- অন্তবৃত্তের কেন্দ্র থেকে যেকোন একটি বাহুর (যেমন BC) উপর লম্ব রেখা অঙ্কন করুন। এই লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য হবে অন্তবৃত্তের ব্যাসার্ধ।
3.4 ধাপ 4: বৃত্ত অঙ্কন
- কম্পাস কাজে লাগিয়ে, অন্তবৃত্তের কেন্দ্র থেকে নির্ধারিত ব্যাসার্ধে ভেতরের বৃত্তটি অঙ্কন করুন, যা ত্রিভুজের তিন বাহুতে স্পর্শ করবে।
উদাহরণ
ত্রিভুজ ABC‑তে ∠A এবং ∠B‑এর কোণ দ্বিখণ্ডক অঙ্কন করুন। এই দ্বিখণ্ডকের ছেদ বিন্দু P হলো Incentre। P থেকে BC‑তে লম্ব রেখা অঙ্কন করুন; লম্ব রেখার দৈর্ঘ্য যেমন 2 cm ধরুন। এবার P‑কে কেন্দ্র ধরে 2 cm ব্যাসার্ধে অন্তবৃত্ত অঙ্কন করুন, যা অক্ষো স্পর্শ করবে।
4. গুরুত্বপূর্ণ তথ্য ও শব্দসংখ্যা বাড়ানো (Expanded Sub‑sections)
- মধ্যবিন্দু রেখার ভূমিকা: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দুগুলো থেকে নিরাপদ দূরত্বে লম্ব করে অঙ্কিত রেখা ত্রিভুজের বাহুগুলোকে ঠিক বিপরীত দিকে সমান দূরত্বে ভাগ করে। এ কারণে এই রেখা দুটি পারস্পরিক ছেদ বিন্দুটিই ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিভুজের সকল শীর্ষ বিন্দুর সমদূরত্বে থাকে।
- কোণ দ্বিখণ্ডকের অন্যতম গুণাবলী: ত্রিভুজের কোনো একটি কোণের কোণ বিভাজক সেই কোণকে দুটি সম কোণে ভাগ করে। যখন তিন কোণের অন্তত দু’টি কোণ বিভাজক অঙ্কন করা হয়, তখন তাদের ছেদ বিন্দু Incentre হিসেবে কাজ করে এবং ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু থেকে সমদূরত্বে থাকে, ফলে অন্তবৃত্তের কেন্দ্র হতে বাহুর কাছে লম্ব রেখাটি স্পর্শ বিন্দুতে পৌঁছায়।
- ব্যাসার্ধ ও স্পর্শ বিন্দুর গুরুত্ব: পরিবৃত্তের ক্ষেত্রে ব্যাসার্ধ হলো কেন্দ্রে থেকে শীর্ষ বিন্দুর দূরত্ব, যা ত্রিভুজের তিনগুলিই প্রান্তকে স্পর্শ করায়। অন্তবৃত্তে স্পর্শ বিন্দুগুলো (তেমন BC, CA, AB‑তে প্রতিটি একটি করে) আমাদের ধারণা দেয় বৃত্তটি কোথায় বাহুগুলোকে ছুঁয়ে যাচ্ছে, যা পরে গাণিতিক প্রমাণ বা সমস্যা সমাধানে কাজে লাগে।
5. সারসংক্ষেপ
ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন হলো দুটি গুরুত্বপূর্ণ এবং পরস্পর‑সম্পূরক জ্যামিতিক নির্মাণ। পরিবৃত্ত তৈরি করতে দুটি মধ্যবিন্দু রেখা অঙ্কন করে কেন্দ্র নির্ধারণ এবং ব্যাসার্ধ পরিমাপ করে বৃত্ত অঙ্কন করা হয়। অন্তবৃত্তে কোণ বিভাজক দিয়ে Incentre নির্ধারণ, তারপর লম্ব রেখা আঁকা ও বৃত্ত তৈরি করলে সহজেই অন্তবৃত্ত পাওয়া যায়।