বর্ণনা:

দশম শ্রেণির গণিতের অধ্যায় “গোলক” একটি মৌলিক জ্যামিতিক আকৃতি নিয়ে আলোচনা করে, যেটি দৈনন্দিন জীবনে ও বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। এই অধ্যায়ে শিখতে হবে গোলকের গঠন, ব্যাসার্ধ, ব্যাস, এবং কীভাবে গোলকের পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল ও আয়তন হিসাব করা যায়। এই বিষয়বস্তু সম্পূর্ণরূপে সিলেবাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ এবং জ্যামিতির ওপর ভিত্তি করে নির্মিত।

১. ভূমিকা

একটি গোলক এমন একটি ত্রিমাত্রিক আকৃতি যা তার কেন্দ্রবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকা সকল বিন্দুর সমষ্টি। এই নির্দিষ্ট দূরত্বকে বলা হয় ব্যাসার্ধ। গোলকের কোন প্রান্ত, কোণ, বা সমতল মুখ নেই। এটি একটি সম্পূর্ণ মসৃণ এবং গড়ানো আকৃতি।

গণিতগত সংজ্ঞা:

“যে সকল বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে, সেই বিন্দুগুলির সমষ্টিকে গোলক বলা হয়।”

২. গুরুত্বপূর্ণ পরিভাষা ও অংশসমূহ

২.১ কেন্দ্র (Centre):

গোলকের অভ্যন্তরে অবস্থিত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু, যেখান থেকে গোলকের সকল পৃষ্ঠবিন্দু সমান দূরত্বে থাকে।

২.২ ব্যাসার্ধ (Radius):

কেন্দ্র থেকে গোলকের পৃষ্ঠে যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত সরলরেখা।
চিহ্ন: সাধারণত r দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
উদাহরণ: যদি গোলকের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি হয়, তবে পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে ৭ সেমি দূরে অবস্থিত।

২.৩ ব্যাস (Diameter):

একটি সরলরেখা, যা গোলকের পৃষ্ঠের দুইটি বিন্দুকে কেন্দ্র দিয়ে সংযুক্ত করে।
সূত্র: ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ (d = 2r)
উদাহরণ: যদি r = ৫ সেমি হয়, তবে d = ১০ সেমি।

২.৪ পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল (Surface Area):

গোলকের বাইরের পৃষ্ঠের মোট ক্ষেত্রফল।
সূত্র: 4πr²
উদাহরণ: যদি r = ৩ সেমি হয়, তবে ক্ষেত্রফল ≈ 4 × 3.1416 × 9 = 113.1 সেমি²

২.৫ আয়তন (Volume):

গোলকের অভ্যন্তরে থাকা মোট স্থানের পরিমাণ।
সূত্র: (4/3)πr³
উদাহরণ: যদি r = ৩ সেমি হয়, তবে আয়তন ≈ (4/3) × 3.1416 × 27 = 113.1 সেমি³

৩. গোলকের বৈশিষ্ট্যসমূহ

৩.১ পূর্ণতাসমতা (Perfect Symmetry):

গোলক একটি সম্পূর্ণভাবে symmetrical আকৃতি। যেকোনো দিক দিয়ে কেন্দ্র বরাবর কাটা হলে দুটি সমান অংশে বিভক্ত হয়।

৩.২ কোন প্রান্ত বা কোণ নেই:

একটি গোলকের কোন মুখ, প্রান্ত বা কোণ নেই। এটি একটানা গোলাকৃতি পৃষ্ঠ বিশিষ্ট।

৩.৩ প্রতিটি কেন্দ্রীয় কাটা অংশ বৃত্ত:

যেকোনো সমতল, যা গোলকের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তা একটি নিখুঁত বৃত্ত তৈরি করে।

৪. গোলকের পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল – বিস্তারিত বিশ্লেষণ

গোলকের পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল বোঝায় তার বাইরের মোট জায়গা।

সূত্র অনুযায়ী ব্যাখ্যা:

যদি গোলকের ব্যাসার্ধ r হয়, তবে
পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল = 4πr²

উদাহরণ:
r = ১০ সেমি হলে,
পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল = 4 × 3.1416 × ১০² = ১,২৫৬.৬৪ সেমি²

৫. গোলকের আয়তন – ধারণা ও প্রয়োগ

আয়তন বোঝায় গোলকের অভ্যন্তরে কতোটা স্থান রয়েছে।

সূত্র:

আয়তন = (4/3)πr³

উদাহরণ:
যদি r = ৭ সেমি হয়,
আয়তন = (4/3) × 3.1416 × ৩৪৩ ≈ ১৪৩৬.৭৬ সেমি³

৬. একক ও রূপান্তর

পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফলের একক:

বর্গ একক (cm², m²)

আয়তনের একক:

ঘন একক (cm³, m³)

রূপান্তর টিপস:

• ১ মিটার = ১০০ সেমি 
• ১ m² = ১০,০০০ cm² 
• ১ m³ = ১০,০০০০,০০০ cm³ 

৭. অন্যান্য ঘন আকৃতির সঙ্গে তুলনা

আকৃতি	পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল	আয়তন	প্রান্ত/মুখ
গোলক	4πr²	(4/3)πr³	নেই
সিলিন্ডার	2πr(h + r)	πr²h	আছে
শঙ্কু	πr(l + r)	(1/3)πr²h	আছে

 

৮. গোলকের বাস্তব প্রয়োগ

• জ্যোতির্বিজ্ঞান: গ্রহ ও তারা গোলকাকৃতি হয়ে থাকে। 
• খেলা: ফুটবল, ক্রিকেট বল, টেনিস বল প্রভৃতি গোলকের বাস্তব রূপ। 
• প্রকৌশল: গোলক আকৃতি প্রেশার ভেসেল, বিয়ারিং ইত্যাদিতে ব্যবহৃত হয়। 
• স্থাপত্য: অনেক গম্বুজ বা স্থাপত্যে গোলকাকৃতি নকশা দেখা যায়। 

৯. সারসংক্ষেপ

গোলক একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক আকৃতি, যার পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ধারণের জন্য দুটি প্রধান সূত্র ব্যবহৃত হয় –

• পৃষ্ঠতল ক্ষেত্রফল: 4πr² 
• আয়তন: (4/3)πr³ 

এই অধ্যায়ের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি সম্পর্কে বাস্তবধর্মী ও সুনির্দিষ্ট জ্ঞান অর্জন করতে সক্ষম হয়। এটি উচ্চতর গণিত অধ্যয়নের জন্য ভিত্তি গড়ে তোলে।