অধ্যায়ের সারসংক্ষেপ

আয়তঘন (Cuboid) অধ্যায়টি মাধ্যমিক স্তরের জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এই অধ্যায়ের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা ত্রিমাত্রিক (3D) জ্যামিতির ধারণা পায় এবং দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত বিভিন্ন বস্তুর গঠন, পৃষ্ঠতল, আয়তন ও দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা সম্পর্কে স্পষ্টভাবে জানতে শেখে।

আয়তঘন হল এমন একটি ঘনবস্তু যার ছয়টি মুখই আয়তক্ষেত্র (Rectangle)। একে আয়তাকার ঘনবস্তু বা আয়তাকার পারালেলোপিপেড বলা হয়। বাস্তব জীবনে ইঁট, বই, বাক্স, ম্যাচবক্স ইত্যাদি বস্তু এর উদাহরণ।

আয়তঘনের সংজ্ঞা ও গঠন

আয়তঘন একটি ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক আকৃতি যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে:

• ৬টি মুখ (Faces) – প্রত্যেকটি মুখ আয়তক্ষেত্র। 
• ১২টি প্রান্ত (Edges) – প্রতিটি প্রান্ত দুটি মুখকে সংযুক্ত করে। 
• ৮টি শীর্ষবিন্দু (Vertices) – যেখানে তিনটি প্রান্ত একত্রিত হয়। 

এই ঘনবস্তুর প্রতিটি কোণ ৯০ ডিগ্রি অর্থাৎ সমকোণ। আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা যথাক্রমে l (length), b (breadth) এবং h (height) দ্বারা চিহ্নিত হয়।

আয়তঘনের মূল বৈশিষ্ট্য

১. মুখ, প্রান্ত ও শীর্ষবিন্দু

একটি আয়তঘনের:

• ৬টি আয়তক্ষেত্র আকৃতির মুখ থাকে 
• ১২টি প্রান্ত থাকে, যা মুখগুলোর সংযোগকারী রেখা 
• ৮টি শীর্ষবিন্দু থাকে, যেখানে প্রান্তগুলি একত্রিত হয় 

প্রতিটি কোণ সমকোণ হয় এবং বিপরীত মুখগুলির পরিমাপ সমান ও সমান্তরাল হয়।

২. মাত্রাগুলি

আয়তঘনের তিনটি মূল মাত্রা হল:

• দৈর্ঘ্য (l) – সবচেয়ে লম্বা পার্শ্ব 
• প্রস্থ (b) – দৈর্ঘ্যের সাথে সংলগ্ন ছোট পার্শ্ব 
• উচ্চতা (h) – খাড়া দিকের পরিমাপ 

এই তিনটি মাত্রার উপর ভিত্তি করেই এর আয়তন ও পৃষ্ঠতল নির্ণয় করা হয়।

গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. আয়তঘনের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (TSA)

সূত্র: মোট পৃষ্ঠতল=2(lb+bh+hl)
যেখানে,
l = দৈর্ঘ্য,
b = প্রস্থ,
h = উচ্চতা।

উদাহরণ: l = 5 সেমি, b = 4 সেমি, h = 3 সেমি হলে,
আয়তঘনের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2(5×4 + 4×3 + 3×5) = 2(20 + 12 + 15) = 94 বর্গসেমি

২. পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (LSA)

এটি আয়তঘনের চারটি পার্শ্বের ক্ষেত্রফল বোঝায় (উপরের ও নিচের অংশ বাদে)।

সূত্র:পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল=2h(l+b)

উদাহরণ: l = 6 সেমি, b = 4 সেমি, h = 5 সেমি হলে,
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2 × 5 × (6 + 4) = 10 × 10 = 100 বর্গসেমি

৩. আয়তন (Volume) নির্ণয়

আয়তঘনের ভেতরের মোট স্থান বা আয়তন।

সূত্র: আয়তন=l×b×h

উদাহরণ: l = 8 সেমি, b = 5 সেমি, h = 2 সেমি হলে,
আয়তন = 8 × 5 × 2 = 80 ঘনসেমি

আয়তঘনের কর্ণ (Diagonal)

আয়তঘনের কর্ণ এমন একটি রেখা যা এক কোণ থেকে বিপরীত কোণে চলে গেছে, এবং এটি ঘনবস্তুর ভেতর দিয়ে যায়।

সূত্র: কর্ণ=l2+b2+h2

উদাহরণ: l = 3 সেমি, b = 4 সেমি, h = 12 সেমি হলে,
কর্ণ = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 সেমি

এককের ব্যবহার

গণনা করার সময় সব মাত্রা একই এককে থাকা উচিত। সাধারণত ব্যবহৃত এককসমূহ হল:

• দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা: সেমি (cm), মিটার (m), মিলিমিটার (mm) 
• ক্ষেত্রফল: বর্গসেমি (cm²), বর্গমিটার (m²) 
• আয়তন: ঘনসেমি (cm³), ঘনমিটার (m³) 

রূপান্তর:
1 মিটার = 100 সেমি
1 মি² = 10,000 সেমি²
1 মি³ = 10,00,000 সেমি³

বাস্তব জীবনে প্রয়োগ

আয়তঘনের ধারণা বাস্তব জীবনে বহুল ব্যবহৃত হয়। যেমন:

• বাক্স বা কার্টনের আয়তন নির্ণয় 
• কক্ষ নির্মাণের জন্য দেওয়ালের ক্ষেত্রফল নির্ণয় 
• পানির ট্যাংকের ধারণক্ষমতা জানা 
• মালপত্র পরিবহনের জন্য প্রয়োজনীয় স্থান হিসাব করা 

উদাহরণ: একটি কাঠের বাক্সের দৈর্ঘ্য = 2 মি, প্রস্থ = 1.5 মি, উচ্চতা = 1 মি
আয়তন = 2 × 1.5 × 1 = 3 ঘনমিটার

সূত্রের সারাংশ

গঠন	সূত্র
মোট পৃষ্ঠতল (TSA)	2(lb + bh + hl)
পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল	2h(l + b)
আয়তন	l × b × h
কর্ণ	√(l² + b² + h²)

উপসংহার

“আয়তঘন” অধ্যায়টি মাধ্যমিক স্তরের জ্যামিতির একটি ভিত্তিপ্রস্তর। এই অধ্যায়ের সূত্রগুলি সঠিকভাবে আয়ত্ত করা এবং প্রয়োগ করতে পারা ভবিষ্যতের গণিত শিক্ষার জন্য অত্যন্ত জরুরি। এই অধ্যায়ের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা বাস্তব জীবনের জ্যামিতিক পরিস্থিতি সমাধানে দক্ষতা অর্জন করে।

পরীক্ষায় ভালো নম্বর পেতে হলে প্রতিটি সূত্র ভালোভাবে অনুশীলন করা, এককের রূপান্তর বোঝা এবং যথাযথ হিসাব করা অত্যন্ত জরুরি।