বৃত্তের উপপাদ্যসমূহের পরিচিতি

বৃত্ত হলো এমন একটি সমতল আকার যার কেন্দ্র থেকে সকল বিন্দুর দূরত্ব সমান। বৃত্তের জ্যামিতিতে কর্ড, স্পর্শক, ব্যাসার্ধ এবং তাদের মধ্যে গঠিত কোণসমূহের সম্পর্ক বোঝা গুরুত্বপূর্ণ। এই অধ্যায়ে বৃত্তের এই বিভিন্ন উপাদানের সম্পর্ক নির্ধারণকারী মৌলিক উপপাদ্যগুলো আলোচনা করা হয়েছে, যা বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে অপরিহার্য।

এই অধ্যায়ে মূলত চারটি উপপাদ্য শেখানো হয়:

• জ্যা দ্বারা কেন্দ্র এবং বৃত্তের পরিধিতে গঠিত কোণ 
• কেন্দ্র থেকে জ্যা অঙ্কিত লম্ব 
• সমান জ্যা ও তাদের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 
• বৃত্তের স্পর্শক এবং তার গুণাবলী 

১. কর্ড দ্বারা কেন্দ্র এবং বৃত্তের পরিধিতে গঠিত কোণের উপপাদ্য

এই উপপাদ্য অনুযায়ী, একই জ্যা দ্বারা কেন্দ্রের কোণটি, বৃত্তের পরিধিতে ওই কর্ডের দ্বারা গঠিত কোণের দ্বিগুণ হয়।

• বিস্তারিত ব্যাখ্যা:বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা AB ধরে, জ্যা AB কেন্দ্র O-তে ∠AOB কোণ গঠন করে। একই কর্ড AB বৃত্তের পরিধির যেকোনো বিন্দু C তে ∠ACB কোণ গঠন করে। এই উপপাদ্য অনুসারে,
  ∠AOB=2×∠ACB
  অর্থাৎ, জ্যা দ্বারা গঠিত কেন্দ্রীয় কোণ, বৃত্তের পরিধিতে গঠিত কোণের দ্বিগুণ। 
• বর্ধিত উদাহরণ: ধরা যাক, জ্যা AB কেন্দ্র O-তে ১২০° কোণ গঠন করে। তাহলে বৃত্তের পরিধিতে জ্যা AB দ্বারা গঠিত কোণ ৬০° হবে। এই উপপাদ্য ব্যবহার করে বৃত্তসংক্রান্ত নানা সমস্যায় কোণের মান নির্ণয় করা হয়। 
• মূলশব্দ: জ্যা দ্বারা কোণ, কেন্দ্রীয় কোণ, বৃত্তের পরিধি কোণ, বৃত্তের উপপাদ্য 

২. কেন্দ্র থেকে জ্যা অঙ্কিত লম্ব

এই উপপাদ্য বলে, কেন্দ্র থেকে  জ্যা অঙ্কিত লম্ব  জ্যাকে দুই সমান অংশে বিভক্ত করে।

• বিস্তারিত ব্যাখ্যা: বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে  জ্যা AB-তে লম্ব রেখা OM অঙ্কিত হলে M বিন্দু  জ্যা AB-এর মধ্যবিন্দু হয়, অর্থাৎ AM = MB। এটি বৃত্তের সিমেট্রির একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। 
• বিস্তারিত উদাহরণ: একটি বৃত্তে  জ্যা AB ১২ সেমি দীর্ঘ। কেন্দ্র থেকে OM লম্ব অঙ্কন করলে,  জ্যা AB দুই ভাগে বিভক্ত হয়, প্রত্যেক অংশের দৈর্ঘ্য ৬ সেমি। OM এবং OA বা OB-এর সাহায্যে বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা যেতে পারে। 
• মূলশব্দ: কেন্দ্র থেকে লম্ব, কর্ড বিভাজন, বৃত্তের কর্ড বৈশিষ্ট্য, ব্যাসার্ধ লম্ব 

৩. সমান   জ্যা ও তাদের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব

এই উপপাদ্যটি  জ্যা দৈর্ঘ্য এবং কেন্দ্র থেকে  জ্যা এর দূরত্বের সম্পর্ক নির্ধারণ করে।

• উপপাদ্য বিবৃতি: কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত জ্যাগুলো সমান দৈর্ঘ্যের হয় এবং সমান দৈর্ঘ্যের জ্যাগুলো কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। 
• বিস্তারিত ব্যাখ্যা: বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে দুই জ্যা AB ও CD-তে লম্ব অঙ্কিত করলে যদি তাদের দূরত্ব সমান হয় (OM = ON), তাহলে জ্যা দুইটির দৈর্ঘ্যও সমান (AB = CD)। উল্টোদিকে, যদি দুই জ্যা সমান হয়, তাদের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব সমান হবে। 
• বিস্তৃত উদাহরণ: একটি বৃত্তে জ্যা AB এবং CD উভয়ের দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে, কেন্দ্র থেকে জ্যা অঙ্কিত লম্ব OM এবং ON সমান। এই বৈশিষ্ট্য বিভিন্ন সমস্যায় সমান জ্যা ও দূরত্ব প্রমাণ করতে ব্যবহার হয়। 
• মূলশব্দ: সমান জ্যা , কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, জ্যা দৈর্ঘ্য, বৃত্তের বৈশিষ্ট্য 

৪. বৃত্তের স্পর্শক এবং তার গুণাবলী

বৃত্তের স্পর্শকের প্রাথমিক উপপাদ্য হলো:

• উপপাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক ওই বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের সাথে লম্ব হয়। 
• বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
  যদি একটি স্পর্শক রেখা বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে, এবং OP হলো ব্যাসার্ধ, তবে স্পর্শক রেখাটি OP-র সাথে লম্ব হবে। অর্থাৎ,
  স্পর্শক রেখা ⊥OP
  এই উপপাদ্য স্পর্শক সংক্রান্ত বিভিন্ন সমস্যা ও জ্যামিতিক প্রমাণের ভিত্তি। 
• বিস্তারিত উদাহরণ:
  বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে P বিন্দুতে স্পর্শক রেখা অঙ্কন করা হয়েছে। ব্যাসার্ধ OP এর দৈর্ঘ্য ৭ সেমি হলে, স্পর্শক রেখা OP-র সাথে ৯০° কোণে অবস্থান করে। এই তথ্য থেকে স্পর্শক রেখার দৈর্ঘ্য এবং অন্যান্য সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়। 
• মূলশব্দ: বৃত্তের স্পর্শক, ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক, লম্ব, স্পর্শক উপপাদ্য