ভূমিকা

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের দশম শ্রেণির গণিতের অধ্যায় ১৭, “সম্পাদ্য: বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন”, একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় যেখানে শিখতে হয় কিভাবে কোনো বৃত্তে স্পর্শক অঙ্কন করতে হয়, নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে। এই অধ্যায় ছাত্রছাত্রীদের জ্যামিতিক বিশ্লেষণ ও যুক্তির দক্ষতা উন্নত করে এবং বোঝার সুযোগ দেয় বৃত্তের সাথে স্পর্শকের সম্পর্ক।

এই অধ্যায়ের মূল বিষয়বস্তুগুলোর মধ্যে রয়েছে:

• বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শক আঁকা 
• বৃত্তের বাইরে কোনো বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক আঁকা 

মূলশব্দ: বৃত্তের স্পর্শক, ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, বাহ্য বিন্দু থেকে স্পর্শক, স্পর্শক অঙ্কনের ধাপ, কর্মপদ্ধতি অনুযায়ী আঁকা ইত্যাদি।

১. সংজ্ঞা ও মূল ধারণা

একটি স্পর্শক হলো এমন একটি সরলরেখা যা একটি বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং সেই স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ ঐ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়। এই উপপাদ্যটি প্রতিটি নির্মাণে প্রধান ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

২. পাঠ্যক্রম অনুযায়ী স্পর্শক নির্মাণের দুই ধরণ

ক. বৃত্তের উপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন

যদি কোনো বৃত্তে কেন্দ্র O ও একটি বিন্দু P থাকে যা বৃত্তের উপরে অবস্থান করছে, তাহলে ঐ বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কনের জন্য OP রেখাটি আঁকে এবং ঐ রেখার উপর বিন্দু P-তে একটি লম্ব সরলরেখা আঁকে। এটাই স্পর্শক।

কর্মপদ্ধতি:
১. OP ব্যাসার্ধ আঁকো
২. বিন্দু P-তে OP-এর উপর একটি লম্ব রেখা আঁকো:

• বিন্দু P কেন্দ্র করে সমান দূরত্বে OP-এর দুই পাশে দুইটি চিহ্ন আঁকো 
• এই দুটি চিহ্ন থেকে অর্ধবৃত্ত আঁকো যা পরস্পরকে কাটবে 
• যে রেখা এই ছেদবিন্দুগুলিকে যোগ করে, সেটাই OP-এর উপর লম্ব রেখা 
• এই লম্ব রেখাটি P বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক হবে 

উদাহরণ:
বৃত্তের কেন্দ্র O এবং বিন্দু P বৃত্তের উপর। OP রেখা আঁকো এবং উপরোক্ত ধাপ অনুসরণ করে স্পর্শক আঁকো।

মূলশব্দ: বৃত্তে স্পর্শক আঁকা, ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, বিন্দুতে স্পর্শক, রুলার ও কম্পাসে নির্মাণ।

খ. বৃত্তের বাইরে অবস্থিত বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক অঙ্কন

যদি কোনো বৃত্তের বাইরে একটি বিন্দু P থাকে, তাহলে ঐ বিন্দু থেকে বৃত্তকে স্পর্শ করে এমন দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা সম্ভব। এই নির্মাণে ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, ডান কোণের তত্ত্ব, এবং বৃত্তের সহকারী নির্মাণ ব্যবহার করা হয়।

কর্মপদ্ধতি:
১. বৃত্তের কেন্দ্র O ও বাহ্য বিন্দু P-কে যুক্ত করো
২. OP রেখাটি ব্যাস হিসেবে ধরে একটি সহকারী বৃত্ত আঁকো
৩. এই সহকারী বৃত্তটি মূল বৃত্তকে দুটি স্থানে (A ও B) ছেদ করবে
৪. P থেকে A এবং B-কে যোগ করো – PA ও PB দুটি স্পর্শক

উদাহরণ:
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ ৪ সেমি, এবং বাহ্য বিন্দু P এমন যে OP = ৬ সেমি। তাহলে OP ব্যাস ধরে একটি বৃত্ত আঁকো। সেটি মূল বৃত্তকে A ও B-তে ছেদ করবে। PA ও PB হল স্পর্শক।

মূলশব্দ: বাহ্য বিন্দু থেকে স্পর্শক, সহকারী বৃত্ত নির্মাণ, দুটি স্পর্শক অঙ্কন, দশম শ্রেণি বৃত্ত স্পর্শক নির্মাণ।

৩. জ্যামিতিক যুক্তি ও উপপাদ্য

• স্পর্শক সবসময় ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয় 
• ব্যাসের উপর যে কোণ গঠিত হয় তা সবসময় ৯০° 
• বাহ্য বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমদৈর্ঘ্য হয় 

এই উপপাদ্যগুলি প্রতিটি নির্মাণের ভিত্তি তৈরি করে এবং নিশ্চিত করে যে আঁকা রেখাগুলি সত্যিকারের স্পর্শক।

৪. ধাপে ধাপে বিস্তারিত বিশ্লেষণ

ক. বৃত্তের উপর বিন্দুতে স্পর্শক আঁকা

• প্রথমে OP ব্যাসার্ধ আঁকো 
• তারপর কম্পাস দিয়ে OP-এর দুই পাশে সমান দূরত্বে দুটি চিহ্ন বসাও 
• সেই চিহ্নদ্বয় থেকে সমান ব্যাসার্ধে অর্ধবৃত্ত আঁকো 
• ছেদবিন্দু দুটি যোগ করো, যা হবে OP-এর উপর লম্ব 
• এই রেখাটি স্পর্শক 

খ. বাহ্য বিন্দু থেকে দুটি স্পর্শক

• OP রেখা আঁকো 
• এই রেখাকে ব্যাস ধরে সহকারী বৃত্ত আঁকো 
• সহকারী বৃত্তটি মূল বৃত্তকে দুটি স্থানে ছেদ করবে – A ও B 
• PA এবং PB যোগ করো – এদুটিই স্পর্শক 

এই ধাপগুলি খুব যত্নসহকারে অনুসরণ করলে, সহজে ও সঠিকভাবে স্পর্শক নির্মাণ সম্ভব।

৫. গাণিতিক উদাহরণ

• উদাহরণ ১: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত, ব্যাসার্ধ ৫ সেমি। বিন্দু P বৃত্তের উপর। P-তে স্পর্শক আঁকো 
  • উত্তর: OP ব্যাসার্ধে P-তে একটি লম্ব রেখা আঁকো 
• উদাহরণ ২: বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাসার্ধ ৩ সেমি। বাহ্য বিন্দু P, OP = ৭ সেমি। 
  • উত্তর: OP কে ব্যাস ধরে সহকারী বৃত্ত আঁকো, যা মূল বৃত্তকে A ও B-তে ছেদ করবে। PA ও PB হল দুটি স্পর্শক।