১. অধ্যায়ের সারসংক্ষেপ

এই অধ্যায়ে শিক্ষার্থীরা এমন একটি বিশেষ চতুর্ভুজ সম্পর্কে জানবে, যার চারটি শীর্ষবিন্দুই একটি বৃত্তের উপর অবস্থান করে। এই ধরনের চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলা হয়। এই অধ্যায়ে মূলত কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য শেখানো হয় যা পরীক্ষায় প্রায়শই আসে এবং গণিতে সমস্যার সমাধানে বিশেষভাবে সহায়ক। এর ফলে জ্যামিতির ধারণা আরও স্পষ্ট হয়।

২. বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত মূল উপপাদ্যসমূহ

২.১ বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল ১৮০° হয়

উপপাদ্য: যদি ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়, তবে এর বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল ১৮০° হয়। অর্থাৎ –
∠A+∠C=180o এবং ∠B+∠D=180o

ব্যাখ্যা: যেহেতু চতুর্ভুজটির চারটি শীর্ষবিন্দুই একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই তাদের দ্বারা উৎপন্ন কোণদ্বয়ের এই সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে। এটি বৃত্তস্থ কোণ ও সংশ্লিষ্ট চাপে ভিত্তি করে প্রমাণ করা হয়।

উদাহরণ:
ধরা যাক, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-তে ∠A = ৭৫°, তাহলে ∠C = ১০৫°, কারণ ৭৫° + ১০৫° = ১৮০°। আবার যদি ∠B = ১২০° হয়, তবে ∠D = ৬০° হবে।

২.২ বহিঃস্থ কোণ ও বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের সমতা

উপপাদ্য: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোনো একটি বাহু প্রসারিত করলে, যে বহিঃস্থ কোণ তৈরি হয়, তা বিপরীত অভ্যন্তরীণ কোণের সমান হয়।

ব্যাখ্যা: উদাহরণস্বরূপ, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং AB বাহুটি B বিন্দুতে প্রসারিত করে BE করা হয়েছে। তাহলে ∠C = ∠ABE হবে।

উদাহরণ:
যদি ∠ABE (বহিঃস্থ কোণ) = ১১০°, তাহলে ∠C = ১১০°। এটি কোণের মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সহজভাবে প্রয়োগ করা যায়।

২.৩ স্পর্শক ও জ্যা দ্বারা গঠিত কোণের উপপাদ্য

উপপাদ্য: বৃত্তের একটি বিন্দুতে একটি স্পর্শক এবং সেই বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি জ্যার মধ্যে গঠিত কোণটি, বৃত্তস্থ বিপরীত খণ্ডের কোণের সমান হয়।

ব্যাখ্যা: যদি T বিন্দুতে স্পর্শক টানা হয় এবং সেই বিন্দু দিয়ে একটি জ্যা অঙ্কন করা হয়, তবে স্পর্শক ও জ্যার মধ্যবর্তী কোণ = বিপরীত খণ্ডে অবস্থিত কোণ।

উদাহরণ:
ধরা যাক, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD-তে B বিন্দুতে BT একটি স্পর্শক এবং BA একটি জ্যা। যদি ∠TBA = ৪৫° হয়, তাহলে ∠CDA = ৪৫° হবে।

২.৪ টলেমির উপপাদ্য (যদি পাঠ্যক্রমে অন্তর্ভুক্ত হয়)

উপপাদ্য: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুই কর্ণের গুণফল = বিপরীত বাহুদ্বয়ের গুণফলের যোগফল
AC×BD=AB×CD+AD×BC

ব্যাখ্যা: এটি একটি উন্নত স্তরের উপপাদ্য, যা দৈর্ঘ্য ভিত্তিক সমস্যা সমাধানে সাহায্য করে। পরীক্ষায় সরাসরি না এলেও উচ্চতর গণিতে কাজে লাগে।

উদাহরণ:
যদি AB = ৬, CD = ৪, AD = ৩, BC = ৫ হয়, তাহলে
AB×CD+AD×BC=৬×৪+৩×৫=২৪+১৫=৩৯

 সুতরাং, AC×BD=৩৯ হবে।

৩. অধ্যায়ের গুরুত্ব ও প্রয়োগ

এই উপপাদ্যগুলোর সাহায্যে জ্যামিতির জটিল সমস্যা সহজে সমাধান করা যায়। বিশেষ করে পরীক্ষায় কোণের মান নির্ণয় বা প্রমাণ সংক্রান্ত প্রশ্নে এদের ব্যবহার অপরিহার্য। প্রতিটি উপপাদ্যই কোনো না কোনো ভাবে একে অপরের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত, যা গাণিতিক যুক্তিকে আরও মজবুত করে।