ভূমিকা:

“বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য” অধ্যায়টি বৃত্ত এবং তার কোণের মধ্যকার সম্পর্ককে কেন্দ্র করে গঠিত। এই অধ্যায়ের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা জানতে পারে কেন্দ্রীয় কোণ, অন্তর্ভুক্ত কোণ, অর্ধবৃত্তের কোণ, একই খন্ডস্থ কোণ এবং চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজ সম্পর্কিত বিভিন্ন জ্যামিতিক নিয়ম ও যুক্তি।

১. কেন্দ্রীয় কোণ উপপাদ্য

উপপাদ্য: একটি বৃত্তে কেন্দ্রীয় কোণের পরিমাণ তার অন্তর্বেষ্টিত কর্ষের সমান।

ব্যাখ্যা: যদি ∠AOB একটি কেন্দ্রীয় কোণ হয় এবং এটি arc AB কে অন্তর্বরত করে, তাহলে ∠AOB = arc AB এর পরিমাপ।

উদাহরণ: একটি বৃত্তে arc AB এর পরিমাণ ৬০°, তাহলে ∠AOB = ৬০°।

২. বৃত্তস্থ কোণ উপপাদ্য

উপপাদ্য: বৃত্তে কোনো বৃত্তস্থ কোণের পরিমাণ তার অন্তর্বরত কর্ষের অর্ধেক।

ব্যাখ্যা: যদি ∠APB একটি বৃত্তস্থ কোণ হয় এবং এটি arc AB কে অন্তর্বরত করে, তাহলে ∠APB = ½ × arc AB।

উদাহরণ: যদি arc AB = ৮০°, তাহলে ∠APB = ৪০°।

৩. অর্ধবৃত্তে কোণ

উপপাদ্য: বৃত্তে অর্ধবৃত্তের উপর গঠিত কোণ সর্বদা সমকোণ (৯০°)।

ব্যাখ্যা: যদি একটি কোণ অর্ধবৃত্তকে অন্তর্বরত করে, তাহলে সেই কোণের পরিমাণ ৯০° হবে।

উদাহরণ: যদি AB একটি বৃত্তের ব্যাস হয় এবং C পয়েন্টটি পরিধিতে থাকে, তাহলে ∠ACB = ৯০°।

৪. একই খন্ডস্থ কোণ

উপপাদ্য: বৃত্তের একই খন্ড (segment) হতে গঠিত সব কোণ পরস্পর সমান।

ব্যাখ্যা: যদি দুইটি কোণ একই কর্ষ বা আর্ক কে অন্তর্বরত করে, তবে তারা পরস্পর সমান।

উদাহরণ: ∠ACB ও ∠ADB যদি arc AB কে অন্তর্বরত করে, তবে ∠ACB = ∠ADB।

৫. স্পর্শক ও জোড়ান রেখার মধ্যে কোণ

উপপাদ্য: একটি স্পর্শক ও তার স্পর্শবিন্দুতে আঁকা জোড়ান রেখার মধ্যে কোণ = সেই জোড়ান রেখা বিপরীত খন্ডে যে কোণ উৎপন্ন করে, তার সমান।

ব্যাখ্যা: যদি PT একটি স্পর্শক হয় এবং TA একটি জোড়ান রেখা হয়, তাহলে ∠PTA = ∠TBA (যেখানে ∠TBA হচ্ছে বিপরীত খন্ডের কোণ)।

উদাহরণ: ধরা যাক PT স্পর্শক এবং TA জোড়ান রেখা। যদি ∠TBA = ৩৫°, তবে ∠PTA = ৩৫°।

৬. চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজের কোণ

উপপাদ্য: চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল ১৮০°।

ব্যাখ্যা: যদি ABCD একটি চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজ হয়, তবে ∠A + ∠C = ১৮০°, এবং ∠B + ∠D = ১৮০°।

উদাহরণ: ∠A = ৬৫° হলে, ∠C = ১১৫°, যাতে ∠A + ∠C = ১৮০° হয়।

৭. বিস্তারিত উদাহরণসমূহ

উদাহরণ A – কেন্দ্রীয় ও বৃত্তস্থ কোণ

একটি বৃত্তে arc AB = ১২০°।
→ ∠AOB (কেন্দ্রীয় কোণ) = ১২০°
→ ∠ACB (বৃত্তস্থ কোণ) = ½ × ১২০° = ৬০°

উদাহরণ B – অর্ধবৃত্ত ও স্পর্শক

AB ব্যাস, C পরিধিতে একটি পয়েন্ট, এবং CT স্পর্শক।
→ ∠ACB = ৯০° (অর্ধবৃত্ত)
→ ∠ACT = ∠ABC (বিপরীত খন্ডে কোণ)
→ যদি ∠ABC = ৩৫°, তাহলে ∠ACT = ৩৫°

উদাহরণ C – চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজ

ABCD একটি চক্রবৃত্ত চতুর্ভুজ।
→ ∠A = ৭০°, ∠C = ১১০°
→ ∠A + ∠C = ১৮০° নিশ্চিত করে উপপাদ্যটি।