পরিচিতি
আমাদের দৈনন্দিন জীবনে আমরা নানা ধরণের ঘনবস্তু বা তিন-মাত্রিক আকৃতির সাথে পরিচিত হই – যেমন বাক্স (ঘনক, আয়ত), সিলিন্ডার (বিলন), গোলক, শঙ্কু ইত্যাদি। এই অধ্যায়ে আমরা শিখব কীভাবে বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে এই ঘনবস্তুগুলোর ভলিউম (আয়তন), পৃষ্ঠতল এলাকা (surface area) ইত্যাদি ব্যবহার করা হয়।
এই অধ্যায়টি মূলত বাস্তব পরিস্থিতিতে প্রাসঙ্গিক জ্যামিতিক জ্ঞান প্রয়োগ করার দক্ষতা তৈরি করে। নিচে প্রতিটি বিষয় ধারাবাহিকভাবে ব্যাখ্যা করা হলো।
১. ঘনবস্তু ও তাদের মাপ সম্পর্কে ধারণা
প্রথমে নিচের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলো মনে রাখা প্রয়োজন:
- প্রিজম বা ঘনআয়ত এর আয়তন = ভিত্তি × উচ্চতা
- সিলিন্ডার (বিলন):
আয়তন = πr²h
মোট পৃষ্ঠতল = 2πr(h + r) - গোলক:
আয়তন = (4/3)πr³
পৃষ্ঠতল এলাকা = 4πr² - শঙ্কু:
আয়তন = (1/3)πr²h
পার্শ্ব পৃষ্ঠতল = πrl
মোট পৃষ্ঠতল = πr(l + r)
এই সূত্রগুলি বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে ব্যবহার করা হয়, যেমন পানির ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা বের করা বা একটি বাক্স মোড়ানোর জন্য প্রয়োজনীয় কাগজের পরিমাণ হিসাব করা।
২. একক ঘনবস্তুর উপর ভিত্তি করে সমস্যা সমাধান
২.১ সিলিন্ডার সম্পর্কিত সমস্যা
উদাহরণ ১: একটি পানির ট্যাঙ্কের ব্যাসার্ধ ৩ মিটার ও উচ্চতা ৫ মিটার।
- আয়তন = π × ৩² × ৫ = ৪৫π ঘন মিটার
- ব্যবহার: বোঝা যাবে ট্যাঙ্কে কত লিটার পানি রাখা যাবে।
উদাহরণ ২: একটি গোল বাক্সের ব্যাসার্ধ ৭ সেমি ও উচ্চতা ১০ সেমি।
- মোট পৃষ্ঠতল এলাকা = 2π × ৭ × (১০ + ৭) = ২৩৮π বর্গ সেমি
- ব্যবহার: উপহার মোড়ানোর জন্য কত কাগজ লাগবে।
এই ধরণের সমস্যায় সিলিন্ডারের আয়তন, পৃষ্ঠতল এলাকা, এবং বাস্তব জীবনের প্রয়োগ–এর উপর গুরুত্ব দেওয়া হয়।
২.২ শঙ্কু ও গোলকের সমস্যা
শঙ্কু উদাহরণ: একটি ট্রাফিক কোনের ব্যাসার্ধ ০.২৫ মিটার ও স্ল্যান্ট উচ্চতা ০.৫ মিটার।
- পার্শ্ব পৃষ্ঠতল = π × ০.২৫ × ০.৫ = ০.১২৫π বর্গ মিটার
- ব্যবহার: প্রতিফলক টেপ কত লাগবে সেটা হিসাব করতে।
গোলক উদাহরণ: একটি ধাতব বলের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি।
- আয়তন = (4/3)π × ৪³ = (4/3)π × ৬৪ ≈ ৮৫.৩π ঘন সেমি
- ব্যবহার: একটি বল তৈরি করতে কত ধাতব প্রয়োজন তা বোঝা যাবে।
এগুলি শঙ্কু ও গোলকের সূত্র, তৈরি সামগ্রীর পরিমাপ, ও কারখানায় ব্যবহৃত গণনা বোঝাতে সাহায্য করে।
৩. যৌগিক (Composite) ঘনবস্তু
বাস্তব জীবনের জিনিসপত্র একাধিক ঘনবস্তু দিয়ে তৈরি হয়, যেমন পানির ফিল্টার, কেক বাক্স, খেলনা ইত্যাদি। এখানে যোগ বা বিয়োগ পদ্ধতিতে সমস্যা সমাধান করা হয়।
উদাহরণ ১: একটি বস্তু গঠিত হয়েছে একটি সিলিন্ডার (ব্যাসার্ধ ২ সেমি, উচ্চতা ৫ সেমি) ও তার উপর একটি অর্ধ-গোলক (সমান ব্যাসার্ধ)।
- সিলিন্ডারের আয়তন = π × ২² × ৫ = ২০π
- অর্ধ-গোলকের আয়তন = (1/2) × (4/3)π × ৮ = (১৬/৩)π
- মোট আয়তন = ২০π + (১৬/৩)π = (৭৬/৩)π ঘন সেমি
উদাহরণ ২: একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর (২মি × ১মি × ১মি) ভিতর থেকে একটি সিলিন্ডার (r=১মি, h=২মি) কাটা হয়েছে।
- ঘনবস্তুর আয়তন = ২ × ১ × ১ = ২ ঘনমিটার
- কাটা অংশের আয়তন = π × ১² × ২ = ২π
- অবশিষ্ট আয়তন = ২ – ২π ঘনমিটার
এই সমস্যাগুলি যৌগিক ঘনবস্তু, যোগ/বিয়োগ পদ্ধতি, এবং বাস্তব জীবনের নকশা তৈরি–তে ব্যবহৃত হয়।
৪. বাস্তব জীবনে প্রয়োগ ক্ষেত্র
এই অধ্যায়ের সাহায্যে নিচের বাস্তব পরিস্থিতিতে গণিত প্রয়োগ শিখে নেওয়া যায়:
- প্যাকেজিং: বোঝা যায় একটি বোতল বা বাক্স মোড়াতে কত কাগজ দরকার।
- নির্মাণ কাজ: স্তম্ভ বা গম্বুজ তৈরিতে কত কংক্রিট লাগবে তা হিসাব করা যায়।
- উৎপাদন: বল, খেলনা বা যন্ত্রাংশ তৈরি করতে কত উপকরণ প্রয়োজন তা বের করা যায়।
- গৃহস্থালি ব্যবহার: পানির ট্যাঙ্কে কত পানি ধরে বা কত রঙ লাগবে দেওয়াল রাঙাতে।
এই প্রয়োগগুলি গণিতের ব্যবহারিক দিক, জ্যামিতিক সমস্যা সমাধান, ও পেশাগত প্রয়োগ বোঝায়।
৫. সমস্যা সমাধানের কৌশল
১. প্রতিটি বস্তু কোন জ্যামিতিক রূপে রয়েছে তা শনাক্ত করুন।
২. প্রাসঙ্গিক সূত্র লিখে রাখুন।
৩. একক পরিবর্তনের দরকার হলে তা করুন।
৪. যৌগিক হলে অংশভাগ করে প্রতিটি অংশের হিসাব আলাদা করে করুন।
৫. বাস্তব জীবনের দৃষ্টিকোণ থেকে উত্তরটি যৌক্তিক কিনা মিলিয়ে নিন।
৬. উত্তর ব্যাখ্যা করুন — যেমন “ট্যাঙ্কটি আনুমানিক ___ লিটার পানি ধারণ করতে পারবে।”
উপসংহার
“বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা” অধ্যায়টি বাস্তব জীবনের প্রয়োজনীয়তা ও জ্যামিতিক ধারণার মাঝে সেতুবন্ধন তৈরি করে। এতে শিখে নেওয়া যায় কিভাবে আয়তন, পৃষ্ঠতল, এবং যৌগিক বস্তুর ধারণা ব্যবহার করে সমস্যার বাস্তবসম্মত সমাধান করা যায়। এই অধ্যায়টি পরীক্ষায় যেমন গুরুত্বপূর্ণ, তেমনই বাস্তব জীবনের নানা পরিস্থিতিতেও সমানভাবে প্রযোজ্য।