এই অধ্যায়ে বিভিন্ন পরিমাণের তুলনা এবং সেগুলির সম্পর্ক ব্যাখ্যা করা হয়। দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে — যেমন অর্থ বণ্টন, দ্রব্যের মিশ্রণ, সময় ও কাজ — এই ধারণাগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

এই অধ্যায়টি ছাত্রছাত্রীদের অনুপাত, সমানুপাত, ক্রমাগত সমানুপাত এবং তাদের প্রয়োগ সম্পর্কে সুস্পষ্ট ধারণা দেয়। বাস্তব উদাহরণ ও গাণিতিক সূত্রের মাধ্যমে বিষয়বস্তু সহজবোধ্য ও উপলব্ধিযোগ্য করে তোলা হয়েছে।

অনুপাত কী? (What is Ratio?)

অনুপাত হল দুটি সমপ্রকার পরিমাণের তুলনা। এটি সাধারণত a : b বা ab আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে a ও b একই এককের পরিমাণ এবং b ≠ 0।

উদাহরণ:
একটি শ্রেণিতে ছেলেমেয়ের সংখ্যা যথাক্রমে ৩ ও ২ হলে, অনুপাত হবে ৩:২। অর্থাৎ প্রতি ৩ জন ছেলের জন্য ২ জন মেয়ে রয়েছে।

অনুপাতের মূল বৈশিষ্ট্য:

• উভয় পরিমাণ অবশ্যই একই এককে থাকা আবশ্যক।
• অনুপাত সরলীকরণযোগ্য, যেমন ভগ্নাংশ।
• এটি আপেক্ষিক পরিমাপ প্রকাশ করে, পরম নয়।

উদাহরণ:
৬০ সেমি এবং ২ মিটার-এর অনুপাত নির্ণয় করো।
২ মিটার = ২০০ সেমি
⇒ অনুপাত = ৬০ : ২০০ = ৩ : ১০

অনুপাতের প্রকারভেদ

১. সরল অনুপাত (Simple Ratio):
দুটি পরিমাণের সরল তুলনা।
উদাহরণ: ৪:৫

২. যৌগিক অনুপাত (Compound Ratio):
দুটি বা ততোধিক অনুপাতের গুণফল।
উদাহরণ: A:B = ২:৩ এবং C:D = ৪:৫ হলে যৌগিক অনুপাত = (২×৪):(৩×৫) = ৮:১৫

৩. দ্বিগুণ অনুপাত (Duplicate Ratio):
দুটি সংখ্যার বর্গের অনুপাত।
a:b = ৩:৪ হলে, দ্বিগুণ অনুপাত = ৯:১৬

৪. ত্রিগুণ অনুপাত (Triplicate Ratio):
দুটি সংখ্যার ঘনের অনুপাত।
a:b = ২:৫ হলে, ত্রিগুণ অনুপাত = ৮:১২৫

সমানুপাত কী? (What is Proportion?)

সমানুপাত হল দুটি অনুপাতের সমতা। অর্থাৎ a : b = c : d হলে, a, b, c, d সমানুপাতিক।

এটি লেখে: a : b :: c : d অথবা  ab = cd এখানে, a ও d হল চরম পদ এবং b ও c হল মধ্য পদ।

সূত্র:

a × d = b × c

উদাহরণ:
৪, ৮, ১৫ ও ৩০ কি সমানুপাতিক?
৪×৩০ = ১২০, ৮×১৫ = ১২০
⇒ হ্যাঁ, তারা সমানুপাতিক।

ক্রমাগত সমানুপাত (Continued Proportion)

তিনটি সংখ্যা a, b, c যদি এমন হয় যে a : b = b : c, তবে তারা ক্রমাগত সমানুপাতে আছে।
⇒ b² = a × c

উদাহরণ:
২, ৪, ৮
৪² = ১৬; ২×৮ = ১৬
⇒ তাই তারা ক্রমাগত সমানুপাতিক।

সমানুপাতের নিয়মাবলি (Properties of Proportion)

১. উল্টে দিলে (Invertendo):
ab = cd, হলে,ba = dc

 

২. বিকল্পভাবে (Alternendo):
ab = cd, হলে, ac = bd

৩. যোজনা ও বিয়োজন (Componendo and Dividendo):
ab =  cd হলে,
  (a+b)(a-b) = (c+d)(c-d)

৪. যোগ বা বিয়োজন অনুপাত:
a : b = c : d হলে,
  (ab)b = (cd)d

 

এই নিয়মগুলি বহু অ্যালজেব্রিক সমস্যার সমাধানে কার্যকর।

অনুপাত ও সমানুপাতের ব্যবহার

১. দ্রব্য মিশ্রণ:
উদাহরণ: ৩০% অ্যাসিড ও ৫০% অ্যাসিড মিশিয়ে ৪০% অ্যাসিড তৈরি করতে অনুপাত কী হবে?

২. নকশা ও মানচিত্র:
স্কেল অঙ্কনে বাস্তব বস্তুর অনুপাত ব্যবহার হয়।

৩. অর্থ বণ্টন:
₹৫০০ কে ৩:২ অনুপাতে ভাগ করো ⇒ ₹৩০০ ও ₹২০০

৪. গতি, সময় ও দূরত্ব:
নির্দিষ্ট দূরত্বে গতি ও সময় একে অপরের বিপরীত অনুপাতে।

৫. কাজ ও সময়:
A যদি ৫ দিনে কাজ শেষ করে, B ১০ দিনে করে ⇒ কাজের অনুপাত ২:১

     গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও রূপান্তর

• অনুপাত: a : b = a/b
• সমানুপাত: a : b = c : d ⇒ a × d = b × c
• ক্রমাগত সমানুপাত: b² = a × c
• যৌগিক অনুপাত: (a : b) × (c : d) = ac : bd
• সরাসরি সমানুপাত: a ∝ b ⇒ ab = ধ্রুবক
• বিপরীত সমানুপাত: a ∝ 1b ⇒ a × b = ধ্রুবক

      সাধারণ ভুলত্রুটি

• অনুপাত নির্ধারণের আগে পরিমাণগুলির একক মিলিয়ে নেওয়া আবশ্যক।
• অনুপাতকে ভগ্নাংশের সঙ্গে গোলানো চলবে না।
• সমানুপাত যাচাই করতে ক্রস গুণফল নিশ্চিত করো।
• একক পরিবর্তনে বিশেষ সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত।

উদাহরণসমূহ

উদাহরণ ১:
₹৭২০ কে ৫:৭ অনুপাতে ভাগ করো।
মোট অংশ = ৫ + ৭ = ১২
A-এর অংশ = (৫১২) × ৭২০ = ₹৩০০
B-এর অংশ = ₹৪২০

উদাহরণ ২:
a : b = ৩ : ৪ এবং b : c = ২ : ৫ হলে, a : b : c নির্ণয় করো
a : b = ৩ : ৪, b : c = ৪ : ১০
⇒ a : b : c = ৩ : ৪ : ১০

উপসংহার

“অনুপাত ও সমানুপাত” অধ্যায়টি গাণিতিক সম্পর্ক ও পরিমাণ নির্ণয়ের জন্য অপরিহার্য। এটি বাস্তব জীবনের বহু সমস্যার সমাধান করতে সাহায্য করে। অধ্যায়টির সূত্রাবলি, নিয়ম, এবং ব্যবহারিক উদাহরণগুলি আত্মস্থ করলে ছাত্রছাত্রীরা সহজে যেকোনো প্রশ্ন সমাধান করতে পারবে।

এই অধ্যায়ের ধারণাগুলি পরবর্তী গণিত ও বিজ্ঞানের অধ্যয়নে গুরুত্বপূর্ণ ভিত্তি গড়ে তোলে।