অধ্যায়ের সারাংশ
“একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ” অধ্যায়টি বীজগণিত একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখার পরিচয় দেয়, যা ভবিষ্যতের উচ্চতর গণিত ও বাস্তব জীবনের অনেক সমস্যার সমাধানে সহায়ক। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল এমন একটি রৈখিক সমীকরণ যা একটি চলক যুক্ত থাকে এবং যার সর্বোচ্চ ঘাত ২।
এই অধ্যায়ে শিক্ষার্থীরা শিখবে কীভাবে এই ধরনের সমীকরণ চিহ্নিত করতে হয়, তার সমাধান করতে হয় এবং ফলাফল বিশ্লেষণ করতে হয়। পশ্চিমবঙ্গ মাধ্যমিক বোর্ডের পাঠ্যক্রম অনুযায়ী, এটি একটি মৌলিক অধ্যায়, যা পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ কী?
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ একটি বহুপদী সমীকরণ যার সর্বোচ্চ ঘাত ২ এবং এতে একটি মাত্র চলক থাকে।
এই সমীকরণটি সাধারণত নিচের রূপে প্রকাশ করা হয়:
ax² + bx + c = 0, যেখানে a ≠ 0, এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা।
এখানে:
- x হল চলক,
- a হল দ্বিঘাত পদ (x²) এর সহগ,
- b হল রৈখিক পদ (x) এর সহগ,
- c হল ধ্রুবপদ।
উদাহরণ:
x² – 5x + 6 = 0
এখানে a = 1, b = -5, c = 6
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
মূলের প্রকৃতি (Roots এর Nature)
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বা শিকড় হল সেই চলকের মান, যা সমীকরণকে সত্য করে তোলে। একটি সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করা যায় তার বিচারক (Discriminant) দ্বারা।
বিচারক (D) এর সূত্র:
D = b² – 4ac
মূলের প্রকৃতি বিচারকের মান অনুযায়ী হয়:
- D > 0: দুটি পৃথক বাস্তব মূল (Distinct Real Roots)
- D = 0: দুটি সমান বাস্তব মূল (Equal Real Roots)
- D < 0: দুটি কাল্পনিক মূল (Complex Roots)
উদাহরণ:
x² – 4x + 3 = 0
এখানে a = 1, b = -4, c = 3
D = (-4)² – 4×1×3 = 16 – 12 = 4
যেহেতু D > 0, তাই সমীকরণের দুটি পৃথক বাস্তব মূল রয়েছে।
সমাধানের পদ্ধতি
এই অধ্যায়ে তিনটি প্রধান পদ্ধতি আলোচনা করা হয়েছে যার মাধ্যমে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায়:
১. গুণনীয় পদ্ধতি (Factorization Method)
এই পদ্ধতিতে দ্বিঘাত সমীকরণটিকে দুটি রৈখিক গুণনে ভাঙ্গা হয় এবং তারপর মূল নির্ণয় করা হয়।
উদাহরণ:
x² – 7x + 10 = 0
⇒ (x – 2)(x – 5) = 0
⇒ x = 2 বা x = 5
২. বর্গ সম্পূর্ণকরণ পদ্ধতি (Completing the Square Method)
এই পদ্ধতিতে সমীকরণকে একটি নিখুঁত বর্গ রূপে রূপান্তর করা হয় এবং তারপর উভয় পাশে বর্গমূল গ্রহণ করা হয়।
উদাহরণ:
x² + 6x + 5 = 0
⇒ x² + 6x = -5
⇒ x² + 6x + 9 = 4
⇒ (x + 3)² = 4
⇒ x + 3 = ±2
⇒ x = -1 বা x = -5
৩. গাণিতিক সূত্র পদ্ধতি (Quadratic Formula Method)
এই পদ্ধতি সর্বজনীন এবং যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রযোজ্য।
সূত্র:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
উদাহরণ:
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = -3, c = 2
x = [3 ± √(9 – 8)] / 2
= (3 ± 1) / 2
⇒ x = 2 বা x = 1
দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ
যদিও এই অধ্যায়ে মূলত বীজগণিত সমাধানের ওপর জোর দেওয়া হয়েছে, তবুও দ্বিঘাত সমীকরণ বিভিন্ন বাস্তব পরিস্থিতিতেও প্রয়োগযোগ্য। পাঠ্যক্রমে সীমিত কয়েকটি প্রয়োগমূলক সমস্যা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:
- ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ সম্পর্কিত সমস্যা
- গতি ও সময় নির্ভর সমস্যা
- বয়স ভিত্তিক সমস্যা
- ব্যবসা ও মুনাফা সম্পর্কিত সরল গাণিতিক সমস্যা
সমস্ত সমস্যাই এমনভাবে উপস্থাপিত হয় যাতে তা একটি দ্বিঘাত সমীকরণে রূপান্তর করে সমাধান করা যায়।
মুখস্থ রাখার গুরুত্বপূর্ণ ধারণাসমূহ
- a ≠ 0 হওয়া আবশ্যক, না হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত হবে না।
- প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল থাকে—যা বাস্তব বা কাল্পনিক হতে পারে।
- মূলের প্রকৃতি নির্ণয়ে D = b² – 4ac সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
- যে-কোনো একটি পদ্ধতি (গুণনীয়, বর্গ সম্পূর্ণকরণ, সূত্র পদ্ধতি) ব্যবহার করে সমাধান পাওয়া সম্ভব।
- দ্বিঘাত সমীকরণে একটি সিমেট্রিকাল গঠন থাকে, যা পরবর্তী গণিত শিক্ষায় সাহায্য করে।