বর্ণনা:
পশ্চিমবঙ্গ মাধ্যমিক বোর্ডের দশম শ্রেণির গণিত পাঠ্যক্রমের অধ্যায় ১৫, “বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য”, বৃত্তের স্পর্শক রেখার মৌলিক বৈশিষ্ট্য ও তাদের জ্যামিতিক উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করে। এই অধ্যায়ে স্পর্শক ও বৃত্তের মধ্যে সম্পর্ক, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, এবং স্পর্শকের সাথে কেন্দ্র থেকে আঁকা রশ্মির পারস্পরিক কোণ সংক্রান্ত মূল সূত্র শেখানো হয়। শিক্ষার্থীরা স্পর্শকের জ্যামিতিক প্রমাণসহ বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করতে সক্ষম হয়।
১. বৃত্তের স্পর্শক কী?
১.১ সংজ্ঞা:
একটি বৃত্তের স্পর্শক হলো এমন একটি সরল রেখা যা বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে। ঐ বিন্দুটিকে বলা হয় স্পর্শ বিন্দু।
১.২ প্রধান বৈশিষ্ট্য:
- স্পর্শক বৃত্তের অভ্যন্তরীণ অংশ অতিক্রম করে না।
- একটি বৃত্তের প্রতি স্পর্শকে বৃত্তের সাথে একমাত্র একটিই স্পর্শ বিন্দু থাকে।
- বৃত্তের অসংখ্য স্পর্শক থাকতে পারে, তবে একটি বাইরের বিন্দু থেকে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
২. উপপাদ্য ১: স্পর্শক কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত রশ্মির সমকোণ হওয়া
২.১ উপপাদ্যের বিবৃতি:
“বৃত্তের স্পর্শক সেই বিন্দুতে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত রশ্মির প্রতি লম্ব হয়।”
২.২ ব্যাখ্যা:
- ধরুন বৃত্তের কেন্দ্র O ও স্পর্শক স্পর্শ বিন্দু P।
- রশ্মি OP স্পর্শকের সাথে লম্ব।
২.৩ প্রমাণের সংক্ষিপ্ত বিবরণ:
যে রেখাটি স্পর্শক বিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত আঁকা হয়, সেটি স্পর্শকের থেকে সবচেয়ে কম দূরত্ব প্রদর্শন করে, তাই তাদের মধ্যে ৯০° কোণ তৈরি হয়।
২.৪ প্রয়োগ:
- স্পর্শক অঙ্কনে এই সূত্র ব্যবহার করা হয়।
- স্পর্শক ও বৃত্তের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে কাজে লাগে।
- জ্যামিতিক প্রমাণে এটি অত্যন্ত প্রয়োজনীয়।
৩. উপপাদ্য ২: বাইরের বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান হওয়া
৩.১ উপপাদ্যের বিবৃতি:
“বৃত্তের বাইরে কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য দুইটি সমান হয়।”
৩.২ ব্যাখ্যা:
- ধরুন P বাইরের একটি বিন্দু।
- PA ও PB হলো P থেকে বৃত্তে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB।
৩.৩ প্রমাণের সংক্ষিপ্ত বিবরণ:
ত্রিভুজ OPA ও OPB কে SSS বা RHS নিয়মে প্রমাণ করে দেখানো হয় যে, তারা সমকোণী এবং তাদের বাহুগুলো সমান, তাই PA ও PB সমান।
৩.৪ প্রয়োগ:
- জ্যামিতিক নির্মাণে গুরুত্বপূর্ণ।
- অজানা দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
- বিভিন্ন জ্যামিতিক প্রমাণে সহায়ক।
৪. স্পর্শক অঙ্কন ও ব্যবহার
৪.১ বাইরের বিন্দু থেকে স্পর্শক অঙ্কন:
ধাপ:
১) বৃত্ত O কেন্দ্র ও একটি বাইরের বিন্দু P নিন।
২) O এবং P কে সংযুক্ত করুন।
৩) OP রশ্মির মধ্যবিন্দু M চিহ্নিত করুন।
৪) M কে কেন্দ্র ধরে ও MO দৈর্ঘ্য দিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করুন।
৫) নতুন বৃত্ত মূল বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করবে।
৬) P থেকে A ও B বিন্দুতে রেখা আঁকুন। এগুলো হবে স্পর্শক।
৪.২ প্রয়োগ:
এই পদ্ধতি ব্যবহার করে বাইরের বিন্দু থেকে স্পর্শক অঙ্কন ও দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হয়।
৫. স্পর্শকের গুণাবলী সারমর্ম
| গুণাবলী | বর্ণনা |
| স্পর্শক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে | স্পর্শ বিন্দু একক |
| স্পর্শক কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত রশ্মির প্রতি লম্ব | ৯০ ডিগ্রি কোণ তৈরি |
| বাইরের বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান | PA = PB |
| একাধিক স্পর্শক | যেকোনো বিন্দু থেকে সর্বাধিক দুটি স্পর্শক |
৬. বাস্তব জীবনে প্রাসঙ্গিকতা
- স্থাপত্য ও প্রকৌশলে বৃত্তাকার কাঠামোর নকশায়
- যান্ত্রিক চাকা ও অক্ষ বিশ্লেষণে
- রাস্তা ও পথনির্মাণে বক্ররেখার স্পর্শক নির্ধারণে
- বৃত্তাকার সিগন্যাল এবং রাডারের ক্ষেত্রেও এই তত্ত্ব প্রয়োগ হয়।
৭. উদাহরণ সমাধান
উদাহরণ ১:
প্রমাণ করুন যে, বাইরের বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।
উত্তর: বৃত্তের কেন্দ্র O ও বাইরের বিন্দু P নিন।
PA ও PB স্পর্শক।
ত্রিভুজ OPA ও OPB-র বাহুগুলো সমান এবং কোণ সমকোণ, তাই সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণী সূত্র অনুযায়ী PA = PB।
উদাহরণ ২:
বৃত্তের কেন্দ্র O এবং স্পর্শক বিন্দু A দেয়া আছে। প্রমাণ করুন OP স্পর্শকের সাথে লম্ব।
উত্তর: স্পর্শক বিন্দুতে OP রশ্মি স্পর্শকের লম্ব।
এটি উপপাদ্য ১ অনুসারে প্রমাণিত।
৯. সংক্ষেপে
অধ্যায় ১৫ এর মূল বিষয় হলো—
১. স্পর্শক কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত রশ্মির প্রতি লম্ব হয়
২. বাইরের বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান হয়