পরিচিতি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) হল জ্যামিতির একটি মৌলিক এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির মধ্যে সম্পর্ক ব্যাখ্যা করে। এই অধ্যায়টি পশ্চিমবঙ্গ মাধ্যমিক শিক্ষা পর্ষদের (WBBSE) ক্লাস ১০-এর গণিত পাঠ্যক্রমের একটি প্রধান অংশ এবং পরীক্ষায় নিয়মিতভাবে প্রশ্ন আসে।

এই উপপাদ্যের মূল লক্ষ্য হচ্ছে: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক স্থাপন করা এবং তা ব্যবহার করে বাস্তব জীবনের নানা সমস্যার সমাধান করা।

উপপাদ্যের বিবৃতি

 একটি সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান হয়।

গাণিতিক রূপে:
ধরা যাক, ∠B = ৯০° কোণ বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ ABC।
তাহলে:

AC2 = AB2 + BC2

এখানে,

• AC হল অতিভুজ (ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু) 
• AB ও BC হল অপর দুই লম্ব ও ভূমির বাহু। 

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ

পশ্চিমবঙ্গ বোর্ডের পাঠ্যক্রম অনুযায়ী এই উপপাদ্যের একটি জ্যামিতিক প্রমাণ রয়েছে।

রচনাঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হয়, যার একটি কোণ ৯০°। প্রতিটি বাহুর উপর একটি করে বর্গ আঁকা হয়। তারপর, প্রতিটি বর্গের ক্ষেত্রফল তুলনা করে দেখানো হয় যে, অতিভুজের উপর আঁকা বর্গটির ক্ষেত্রফল অপর দুই বর্গের ক্ষেত্রফলের যোগফলের সমান।

উদাহরণস্বরূপঃ
যদি AB = ৩ সেমি, BC = ৪ সেমি হয় তবে:

AC2 = AB2 + BC2 = ৩2 +৪2 = ৯ + ১৬ = ২৫ ⇒ AC =√২৫ = ৫ সেমি

 

এভাবে প্রমাণ হয় যে উপপাদ্যটি সত্য।

পিথাগোরাস উপপাদ্যের বিপরীত

উক্তিঃ
যদি কোনও ত্রিভুজের একটি বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের যোগফলের সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

গাণিতিক রূপে:
যদি,

AC2 = AB2 + BC2

তবে, ∠B = ৯০° এবং ত্রিভুজটি সমকোণী।

এই উল্টো উপপাদ্যটি ব্যবহার করে আমরা সহজেই নির্ধারণ করতে পারি একটি ত্রিভুজ সমকোণী কি না।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার

এই উপপাদ্যটি শুধু পরীক্ষার জন্য নয়, বাস্তব জীবনের নানা সমস্যার সমাধানেও ব্যবহৃত হয়।

১. অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

যখন একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তখন তৃতীয় বাহুটি এই সূত্র দিয়ে সহজে নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ:
একটি ত্রিভুজে, XY = ৬ সেমি, YZ = ৮ সেমি
তাহলে,

XZ2 = XY2 + YZ2 =৩৬ + ৬৪ = ১০০ ⇒ XZ = √১০০ = ১০ সেমি

 

২. ত্রিভুজটি সমকোণী কি না তা যাচাই করা

ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে, উপপাদ্য প্রয়োগ করে যাচাই করা যায় এটি সমকোণী কি না।

উদাহরণ:
একটি ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য: ৫ সেমি, ১২ সেমি, ১৩ সেমি
তাহলে,

৫2 + ১২2 = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯১৩2 = ১৬৯ ⇒ সমকোণীত্রিভুজ

৩. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

• ভবনের উচ্চতা মাপার সময় 
• কার্পেন্ট্রি বা নির্মাণ কাজের সময় কোণ নির্ধারণে 
• GPS ও ন্যাভিগেশনে দূরত্ব নির্ণয়ে 

পাঠ্যক্রমভিত্তিক প্রশ্নের ধরন

পশ্চিমবঙ্গ বোর্ডের পরীক্ষায় এই অধ্যায় থেকে বিভিন্ন ধরনের প্রশ্ন আসে:

১. সংখ্যাগত সমস্যা (Numerical Problems)

• কোনও ত্রিভুজের অজানা বাহু নির্ণয় 
• বাস্তব জীবনের প্রয়োগমূলক সমস্যা 

২. প্রমাণ ভিত্তিক প্রশ্ন (Proof-based Questions)

• উপপাদ্যের জ্যামিতিক প্রমাণ 
• চিত্রসহ ব্যাখ্যা 

৩.বিপরীত উপপাদ্যের প্রয়োগ

• দেওয়া বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে ত্রিভুজের প্রকৃতি নির্ধারণ 

গুরুত্বপূর্ণ বিষয় (মূল ধারণা)

• এই উপপাদ্য শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য। 
• অতিভুজ সর্বদা দীর্ঘতম বাহু এবং এটি ৯০° কোণের বিপরীতদিকে থাকে। 

• বিপরীত উপপাদ্য ব্যবহার করে ত্রিভুজের ধরণ নির্ধারণ করা যায়।
  

উপসংহার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হল জ্যামিতির এমন একটি ভিত্তিপ্রস্তর, যা শুধুমাত্র পাঠ্যক্রমের জন্য নয়, বাস্তব জীবনের নানা ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এই অধ্যায়ের সুস্পষ্ট ধারণা পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সহায়তা করে এবং গণিতে আত্মবিশ্বাস বাড়ায়। সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহারিক ও তাত্ত্বিক জ্ঞান অর্জনের জন্য এই অধ্যায়টি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।