অধ্যায়ের সারাংশ
দ্বিঘাত করণী বা Quadratic Surd হল এমন একটি অমূলদ রাশি যা একটি বর্গমূল আকারে থাকে এবং সরলীকৃত অবস্থায় কোনো মূলদ সংখ্যা হয় না। এই অধ্যায়টি মাধ্যমিক স্তরের গণিত শিক্ষার্থীদের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এক্ষেত্রে শিখতে হয় করণীর সংজ্ঞা, সরলীকরণ, যোগ-বিয়োগ, গুণ এবং হরমূল মুক্ত করা (denominator rationalisation) প্রভৃতি প্রক্রিয়া।
১. করণী এবং দ্বিঘাত করণী কী?
কৰণী হল এমন একটি রাশি যা একটি অমূলদ রাশি এবং যার মান সরল করে মূলদ সংখ্যায় প্রকাশ করা যায় না। যেমন, √2, √3, √5 ইত্যাদি।
দ্বিঘাত করণী বলতে বোঝায় √a, যেখানে a একটি নিখুঁত বর্গ নয়।
উদাহরণ: √2 একটি দ্বিঘাত করণী কারণ এটি অমূলদ এবং সরলীকরণ করে মূলদ সংখ্যা পাওয়া যায় না।
২. করণীকে সরলীকরণ
প্রথম ধাপ হল রাশির বর্গমূলের মধ্যে লুকিয়ে থাকা নিখুঁত বর্গ বের করা এবং তা বাইরে বের করে আনা।
উদাহরণ ১: √72
- 72 = 36 × 2
- √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
উদাহরণ ২: √50 = √(25 × 2) = 5√2
এভাবে করণীকে সরলীকরণ করলে সমস্যা সমাধান সহজ হয় এবং সঠিক উত্তর পাওয়া যায়।
৩. করণী যোগ ও বিয়োগ
শুধুমাত্র একই করণী বা সম করণী (like surds) একত্রে যোগ বা বিয়োগ করা যায়।
উদাহরণ: 3√2 + 5√2 – 2√3 = 8√2 – 2√3
উদাহরণ ২: 7√5 – 2√5 + 4√20
- √20 = 2√5 → 4×2√5 = 8√5
- ফলাফল: 7√5 – 2√5 + 8√5 = 13√5
৪. করণী গুণ
দ্বিঘাত করণী গুণ করার সময় সংখ্যার গুণ এবং করণীর গুণ আলাদা আলাদা করতে হয়।
উদাহরণ: √2 × √8 = √(2×8) = √16 = 4
উদাহরণ ২: 3√3 × 2√12
- √12 = 2√3 → 3√3 × 2×2√3 = 12 × 3 = 36
৫. হরমূল মুক্তকরণ (Denominator Rationalisation)
উদাহরণ ১:
5 / √2 = (5√2) / (√2×√2) = 5√2 / 2
উদাহরণ ২:
3 / (2 + √3)
- গুণ করি ঋণাত্মক সঙ্গীর সাথে (2 − √3)
3(2−3)(2+ √3) (2- √3) = 3(2−3)4-3 = 3(2−3)
৬. দ্বিঘাত সমীকরণে করণীর ব্যবহার
দ্বিঘাত সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত মূল অনেক সময় করণী আকারে প্রকাশ পায়।
উদাহরণ: সমাধান করো, x² – 2x – 1 = 0
- x = [2 ± √(4 + 4)] / 2 = [2 ± √8] / 2 = [2 ± 2√2] / 2 = 1 ± √2
ফলে, উত্তর: x = 1 + √2 এবং x = 1 − √2
এটি দ্বিঘাত সমীকরণে করণীর ব্যবহার বোঝায়।