ভূমিকা
ত্রিকোণমিতি হল গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা, যার মাধ্যমে কোণ ও তার বিভিন্ন পরিমাপের ধারণা গড়ে ওঠে। দশম শ্রেণির পশ্চিমবঙ্গ বোর্ডের পাঠ্যক্রমে, এই অধ্যায়ে কোণ পরিমাপের দুইটি মূল পদ্ধতি – ডিগ্রি এবং রেডিয়ান সম্পর্কে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এই ভিত্তি গড়ে উঠলে, পরবর্তী অধ্যায়গুলোতে সাইন, কো-সাইন ও ট্যানজেন্ট ফাংশন অনায়াসে বোঝা যাবে।
মূল ধারণা ও কাঠামো
১. কোণ কী?
যখন দুটি রশ্মি একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হয়, তখন তাদের মধ্যবর্তী খোলামেলা স্থানটিকেই কোণ বলা হয়। কোণ পরিমাপের প্রধান দুইটি একক হল:
- ডিগ্রি (°)
- রেডিয়ান (rad)
২. ডিগ্রি পদ্ধতিতে কোণ পরিমাপ
ডিগ্রি পদ্ধতিতে একটি পূর্ণ বৃত্তকে ৩৬০ সমান অংশে ভাগ করা হয়।
- ১ পূর্ণ ঘূর্ণন = ৩৬০°
- ১ ডিগ্রি = ৬০ মিনিট (′) এবং ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড (″)
উদাহরণ:
৩০° ১৫′ = ৩০ + (১৫ ÷ ৬০) = ৩০.২৫°
৩. রেডিয়ান পদ্ধতিতে কোণ পরিমাপ
রেডিয়ান হল কোণ পরিমাপের একটি গাণিতিক একক, যা আর্ক দৈর্ঘ্য ও ব্যাসার্ধের অনুপাত হিসেবে গণনা করা হয়।
- একটি পূর্ণ বৃত্তের পরিধি = ২πr, তাই সম্পূর্ণ কোণ = ২π রেডিয়ান
- π রেডিয়ান = ১৮০° → ১° = π/১৮০ রেডিয়ান
উদাহরণ:
- ৬০° → (π/১৮০) × ৬০ = π/৩ রেডিয়ান
- π/৪ রেডিয়ান → (১৮০/π) × (π/৪) = ৪৫°
৪. রূপান্তর পদ্ধতি: ডিগ্রি ↔ রেডিয়ান
ডিগ্রি থেকে রেডিয়ান: কোণ × (π/১৮০)
রেডিয়ান থেকে ডিগ্রি: কোণ × (১৮০/π)
উদাহরণ:
- ১৫০° = (১৫০ × π/১৮০) = ৫π/৬ রেডিয়ান
- ২ রেডিয়ান = ২ × (১৮০/π) ≈ ১১৪.৫৯°
৫. ধনাত্মক ও ঋণাত্মক কোণ
- ধনাত্মক কোণ: ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণনের পরিমাণ।
- ঋণাত্মক কোণ: ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণনের পরিমাণ।
উদাহরণ:
- –৩০° মানে ৩০° ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরা।
- –π/৬ রেডিয়ান অর্থাৎ π/৬ রেডিয়ান ঘড়ির কাঁটার দিকে।
৬. কোণের মানের মানক অবস্থান
একটি কোণ যদি উৎসবিন্দুতে (origin) উৎপন্ন হয় এবং তার প্রাথমিক বাহু থাকে x-অক্ষ বরাবর, তখন তাকে মানক অবস্থান বলা হয়।
- কোণের প্রান্তিক বাহু তার মান নির্ধারণ করে।
৭. সহ-সমাপ্ত কোণ (Co-terminal Angles)
একই টার্মিনাল বাহু বিশিষ্ট বহু কোণ থাকতে পারে। এক কোণ থেকে ৩৬০° বা ২π রেডিয়ান যোগ বা বিয়োগ করে সহ-সমাপ্ত কোণ পাওয়া যায়।
উদাহরণ:
- ৩০° → সহ-সমাপ্ত কোণ: ৩০° + ৩৬০° = ৩৯০°, ৩০° – ৩৬০° = –৩৩০°
- π/৬ → π/৬ + ২π = ১৩π/৬
উদাহরণস্বরূপ প্রয়োগ
| কাজ | উদাহরণ |
| ডিগ্রি থেকে দশমিক রূপ | ৪৫° ৩০′ = ৪৫ + (৩০ ÷ ৬০) = ৪৫.৫° |
| ডিগ্রি থেকে রেডিয়ান | ১২০° = (১২০ × π/১৮০) = ২π/৩ রেডিয়ান |
| রেডিয়ান থেকে ডিগ্রি | ৪π/৫ রেডিয়ান = (৪π/৫ × ১৮০/π) = ১৪৪° |
| সহ-সমাপ্ত কোণ | ৪৫° → ৪৫° + ৩৬০° = ৪০৫°, ৪৫° – ৩৬০° = –৩১৫° |
| ঋণাত্মক কোণ | –π/৩ রেডিয়ান = ঘড়ির কাঁটার দিকে ৬০° ঘূর্ণন |
অধ্যায়টির গুরুত্ব
এই অধ্যায়ের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা:
- পরবর্তী ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বোঝার জন্য শক্তিশালী ভিত্তি গড়ে তোলে।
- বিজ্ঞান ও গণিতে বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে কোণ সম্পর্কিত সমস্যার সমাধান করতে পারে।
- রেডিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সহজেই ঘূর্ণন, তরঙ্গ ও বৃত্তাকার গতির সমস্যা সমাধান করতে শিখে।
উপসংহার
“ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা” অধ্যায়টি দশম শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের ত্রিকোণমিতির জগতে প্রথম পদক্ষেপ। এখানে ডিগ্রি ও রেডিয়ান পদ্ধতির নির্ভুল ধারণা, রূপান্তর কৌশল, কোণের দিক ও অবস্থান সংক্রান্ত ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে। এই মৌলিক ধারণাগুলি পরবর্তী অধ্যায়গুলো—যেমন ত্রিকোণমিতিক অনুপাত, সমীকরণ ও গ্রাফ বিশ্লেষণে—গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখবে।