এই অধ্যায়ে, আমরা এমন একটি জ্যামিতিক আকৃতি নিয়ে আলোচনা করব যা বাস্তব জীবনে নানানভাবে ব্যবহৃত হয়—জলধারক, দুধের ক্যান, পাইপ কিংবা গ্যাস সিলিন্ডারের মতো জিনিসে। এ হলো লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)। এই অধ্যায়ের মূল লক্ষ্য হলো চোঙের গঠন, তার বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে শেখানো।

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ কী?

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ হলো এমন একটি ঘনাকৃতি, যা একটি আয়তক্ষেত্রকে তার একপাশ ঘিরে ঘূর্ণায়মান করলে গঠিত হয়। এতে দুটি সমান আকারের বৃত্তাকার ভিত্তি থাকে এবং মাঝখানে একটি বক্র পৃষ্ঠ থাকে।

বৈশিষ্ট্যসমূহ:

• দুটি সমান্তরাল বৃত্তাকার ভিত্তি রয়েছে। 
• উচ্চতা (h) হলো দুই ভিত্তির মধ্যবর্তী লম্ব দৈর্ঘ্য। 
• ব্যাসার্ধ (r) হলো বৃত্তাকার ভিত্তির ব্যাসার্ধ। 
• অক্ষ হলো দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের সংযোগকারী সরলরেখা। 
• বক্র পৃষ্ঠ হলো দুই ভিত্তির চারপাশ জোড়া লাগানো অংশ। 

অধ্যায়ে ব্যবহৃত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

এই অধ্যায়ে সমস্যার সমাধান করার জন্য নিচের প্রধান সূত্রগুলো মনে রাখা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ:

১. বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area / CSA)

                                                          বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =2πrh

এটি চোঙের পাশের বাঁকা অংশের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

২. মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area / TSA)

                                                        মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =2πr(h+r)

এটি বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং দুটি বৃত্তাকার ভিত্তির ক্ষেত্রফলের যোগফল।

৩. আয়তন (Volume)

                                                            আয়তন =πr2h

চোঙের ভিতরের স্থান নির্দেশ করে, যা সাধারণত ঘন এককে (cubic units) পরিমাপ করা হয়।

উদাহরণসহ ব্যাখ্যা

উদাহরণ ১: বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রশ্ন: একটি চোঙের ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং উচ্চতা 10  সেমি হলে তার বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:

বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =2πrh=2×227×5×10=72200​≈314.29সেমি2

উত্তর: বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল প্রায় 314.19 সেমি²।

উদাহরণ ২: মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল

প্রশ্ন: একটি বন্ধ চোঙের ব্যাসার্ধ 7 সেমি এবং উচ্চতা 14 সেমি হলে মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান:

মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =2πr(h+r)=2×227​×7×(14+7)=924সেমি2

উত্তর: মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 924 সেমি²।

উদাহরণ ৩: আয়তন নির্ণয়

প্রশ্ন: একটি চোঙের ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 7 সেমি হলে তার আয়তন নির্ণয় করো।
সমাধান:

আয়তন=πr2h=227×32×7=198সেমি3

উত্তর: চোঙের আয়তন 198 সেমি³।

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• জলাধার: পানির ট্যাংক বা বোতল তৈরিতে চোঙের ধারণক্ষমতা জানা গুরুত্বপূর্ণ। 
• প্যাকেজিং ও ডিজাইন: ক্যান, বয়াম, বোতল ইত্যাদিতে মোড়কের ক্ষেত্রফল জানার জন্য মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল জানা প্রয়োজন। 
• নির্মাণ কাজ: কংক্রিট পিলার, লোহা বা প্লাস্টিকের পাইপ ইত্যাদি চোঙাকার বস্তু হিসেবেই নির্মাণ হয়। 
• শিল্পখাতে পরিকল্পনা: উপকরণের পরিমাণ এবং খরচ নির্ধারণে চোঙের আয়তনের হিসাব প্রয়োজন। 

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সমস্যা

বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নিয়ে বিভ্রান্তি

অনেকে বক্রপৃষ্ঠ ও মোট পৃষ্ঠ এক মনে করে। মনে রাখবে:

• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = কেবল বাঁকা পাশ 
• মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল + দুই বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

এককের গোলমাল

ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা অবশ্যই একই এককে (যেমন: সেমি) হতে হবে, না হলে ভুল ফলাফল আসবে।

সমস্যার ধরন ও প্রস্তুতির কৌশল

এই অধ্যায়ে নিচের ধরণের প্রশ্ন দেখা যায়:

• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল, মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলও আয়তন নির্ণয়। 
• মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বা আয়তন দিয়ে উচ্চতা বা ব্যাসার্ধ নির্ণয়। 
• ব্যবহারিক প্রশ্ন (যেমন: চোঙ রঙ করতে কত খরচ হবে?)। 

সমস্যা সমাধানের টিপস:

• প্রতিটি সমস্যার জন্য চিত্র আঁকো। 
• সঠিকভাবে একক চিহ্নিত করো। 
• π = 227 বা 3.14 ধরো, প্রশ্ন অনুযায়ী। 
• সমস্যা পড়ে চিন্তা করো কোন সূত্র ব্যবহার হবে। 

উপসংহার

লম্ব বৃত্তাকার চোঙ অধ্যায়টি বাস্তব জ্যামিতির সঙ্গে গণিতের সংযোগ স্থাপন করে। ছাত্ররা যদি নিয়মিত সূত্র অনুশীলন করে ও সঠিকভাবে সমস্যা সমাধান করে, তাহলে এই অধ্যায়টি সহজ ও নম্বর তোলার জন্য উপযুক্ত। বাস্তব জীবনের উদাহরণ ও প্রয়োগের মাধ্যমে এটি আরও স্পষ্ট হয়।